[論文レビュー] Explicit modular towers

Noam D. Elkies|ArXiv.org|Mar 16, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 68

ひとこと要約

本稿では、最初の数レベルの幾何学——具体的には、曲線 $\mathrm{X}_0(l^2)$、そのアトキン＝レナーオペレーター、および次数 $l$ の写像 $\pi_0$ —— のみを用いて、$\mathrm{X}_0(l^n)$ のような漸近的に最適なモジュラー曲線の塔を再帰的に構成する方法を提示する。主な貢献は、座標間の反復的関係によって全塔を実現する公式であり、高 genus の曲線の明示的方程式を可能にするとともに、有理点の個数を数えることで最適性を確認する。

ABSTRACT

We give a general recipe for explicitly constructing asymptotically optimal towers of modular curves such as {X_0(l^n): n=1,2,3,...}. We illustrate the method by giving equations for eight towers with various geometric features. We conclude by observing that such towers are all of a specific recursive form, and speculate that perhaps every tower of this form that attains the Drinfeld-Vladut bound is modular.

研究の動機と目的

• 高 genus のモジュラー曲線の塔 $\mathrm{X}_0(l^n)$ の明示的方程式を体系的に構成するための方法を開発すること。
• このような塔の全塔を再構成するために、実際に必要なのは $\mathrm{X}_0(l^2)$ および写像 $\pi_0$ のような最初の数レベルに限ることを示すこと。
• これらの塔の漸近的最適性がモジュラー起源とは独立して、有理超特異点の存在を示すことによって確認できることを示すこと。
• このような形式の漸近的に最適な再帰的塔が、すべてモジュラー的である必要があるかどうかを検討すること。

提案手法

• 曲線 $\mathrm{X}_0(l^n)$ から $({\rm X}_0(l^2))^{n-1}$ への積写像 $\pi = \pi_0 \times \cdots \times \pi_{n-2}$ を用い、曲線を積空間に埋め込む。
• 連続するレベルをアトキン＝レナーオペレーターを介して結ぶために、$j=1,\dots,n-2$ に対して $\pi_0(w_l^{(2)}(P_j)) = w_l^{(1)}(\pi_0(P_{j+1}))$ を要請することで、塔を再帰的に定義する。
• 構成は、$\mathrm{X}_0(l^2)$ の明示的方程式およびそのアトキン＝レナーオペレーター $w_l^{(2)}$ の作用に依存しており、これはモジュラーパラメトライゼーションから導かれる。
• シムーラ曲線の場合、同様の再帰的枠組みを、対応する $\mathrm{X}_0(\wp^n)$ 曲線およびその単元群をもつクaternion代数からの自己同型を用いて適用する。
• 各曲線の genus は、穏やかな分岐（tame ramification）を用いて計算され、急激な分岐（wildly ramified）な塔と比較して計算が簡略化される。
• 非古典的モジュラー曲線に対しても、同じ再帰的構造を一般化し、基本曲線 $C_1$ 上の双次数 $(l,l)$ の対応 $\Phi$ から導かれる方程式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高 genus のモジュラー曲線の塔 $\mathrm{X}_0(l^n)$ の明示的方程式は、最初の2レベル $\mathrm{X}_0(l^2)$ および写像 $\pi_0$ のみから再帰的に構成可能か？
• RQ2 再帰的構造が $\mathrm{X}_0(l^2)$ および写像 $\pi_0$ に依存する場合、全塔 $\mathrm{X}_0(l^n)$ が完全に決定されるか？
• RQ3 このような塔の漸近的最適性——ドリニン＝ヴャルドゥツの境界に達すること——は、モジュラー起源とは独立して確認可能か？
• RQ4 このような形式の漸近的に最適な再帰的塔が、すべてモジュラー的である必要があるのか、すなわちモジュラー曲線またはシムーラ曲線から生じるのか？
• RQ5 アトキン＝レナーオペレーターは、再帰的構造を維持し、genus 計算を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、8つの漸近的に最適な塔の明示的方程式を提供する：$l=2,3,4,5,6$ および $3\cdot 2^n$ の6つの古典的モジュラー曲線 $\mathrm{X}_0(l^n)$ と、2つのシムーラ曲線。
• $\mathrm{X}_0(2^n)$ の場合、$n-1$ 個の座標 $x_1,\dots,x_{n-1}$ が $x_j^2 + 3 = 4z_{j+1}^2$ および $z_j = (x_j + 3)/(x_j - 1)$ を満たし、自己同型 $\xi \mapsto (\xi + 3)/(\xi - 1)$ を持つ。
• $\mathrm{X}_0(3\cdot 2^n)$ の場合、方程式は類似しているが、$\mathrm{X}_0(2^2)$ の $j$-不変量パラメトライゼーションから導かれる異なる自己同型と関係を含む。
• シムーラ曲線の塔 $\mathcal{X}_0(\wp_2^n)$ は $n=5$ を超えては分岐しない。また、奇数の標数の有限体上、$\mathcal{X}_0(\wp_2^5)$ の2類体塔によって支配される。
• 立方体体 $\mathbb{Q}(2\cos\pi/9)$ のための塔 $\mathcal{X}_0(\wp_3^n)$ は、$x_j^3 + z_{j+1}^3 = 1$ および $z_j = (x_j + 2)/(x_j - 1)$ で記述され、$n=4$ を超えては分岐しない。
• 著者らは、すべての既知のこのような漸近的に最適な再帰的塔がモジュラー的であるという事実に基づき、すべてのこのような塔が必然的にモジュラー的であると予想している。