[論文レビュー] Explicit Polynomials Having the Higman-Sims Group as Galois Group over Q(t)

Dominik Barth, Andreas Wenz|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単一路径の有理三重組に対応するモノドロミーを持つ0種のバリィ写像を用いて、ℚ(t) 上のHigman-Sims群HSおよびその自己同型群Aut(HS) をガロア群とする明示的な100次有理関数を構成する。著者らは代数的・幾何的技法を用いて明示的な多項式を計算し、置換群論および判別式解析を通じてモノドロミー群を検証し、ℚ(t) 上のHSに対する逆ガロア問題を解決する。

ABSTRACT

We compute explicit polynomials having the sporadic Higman-Sims group HS and its automorphism group Aut(HS) as Galois groups over the rational function field Q(t).

研究の動機と目的

• ℚ(t) 上の単一のHigman-Sims群HSおよびその自己同型群Aut(HS) に対する逆ガロア問題を解くこと。
• モノドロミー群がAut(HS) に同型となる100次有理関数f(X) = p(X)/q(X) を明示的に構成すること。
• 代数的および幾何的技法を用いて、ℚ(t)[X] 内の多項式p(X) - tq(X) のガロア群が正確にAut(HS) に一致することを確認すること。
• 0種の2つの剛性有理生成三重組に対応する100次バリィ写像を2つ提供すること。
• 置換三重組と有理剛性を用いた、特異的群に適用可能な高次バリィ写像の計算手法を提示すること。

提案手法

• S₁₀₀ 内の剛性有理三重組(x, y, z) がx·y·z = 1 を満たし、0種であることを前提に、モノドロミー群がAut(HS) に同型となる100次バリィ写像f: ℙ¹(ℂ) → ℙ¹(ℂ) を構成する。
• p(X), q(X), r(X) は整数係数で特定の因数分解を持つ明示的な多項式であり、f(X) = p(X)/q(X) = 1 + r(X)/q(X) と定義する。
• Magma を用いて、置換三重組(x, y, z) がAut(HS) を生成し、ブレッド関係を満たし、種数0を満たすことを検証し、ℚ 上に一意なバリィ写像が存在することを保証する。
• リーマン・フルイツの公式を適用して、f が0, 1, ∞ における3点分岐被覆であり、サイクル型が与えられた置換と一致することを確認する。
• ガロア群の代数的解析を通じてモノドロミーを検証し、p(X) - tq(X) ∈ ℚ(t)[X] のガロア群が、部分位数1, 22, 77 の原始的ランク3置換群であることを示す。
• p(X) - tq(X) の判別式がℚ(t) 内の平方でないかを確認することで、ガロア群がHS かAut(HS) かを特定する。判別式が平方でないため、群はAut(HS) であると確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ(t) 上でモノドロミー群がAut(HS) に同型となる100次バリィ写像を明示的に構成可能か？
• RQ2 多項式p(X) - tq(X) ∈ ℚ(t)[X] のガロア群はAut(HS) に等しいか？ その確認は代数的にどのように可能か？
• RQ3 Aut(HS) に対して0種の2つの異なる剛性有理生成三重組が存在するか？ それらは同一のモノドロミー群を持つが異なるバリィ写像を生成するか？
• RQ4 多項式p(X) - tq(X) の判別式を用いて、ℚ(t) 上のガロア群HS とAut(HS) を区別可能か？
• RQ5 バリィ写像に関連するdessin d’enfant の構造は何か？ また、それはモノドロミー群をどのように反映するか？

主な発見

• 著者らは、0種の剛性有理三重組から導かれる100次バリィ写像f(X) = p(X)/q(X) をℚ(t) 上に明示的に構成し、モノドロミー群がAut(HS) に同型であることを示した。
• ℚ(t)[X] 内の多項式p(X) - tq(X) のガロア群はAut(HS) に同型であり、判別式解析によりℚ(t) 内の平方でないことが確認された。
• 2番目の剛性有理三重組から100次バリィ写像を別途構成し、ℚ(t) 上でガロア群がAut(HS) に同型となる別の明示的多項式を得た。
• p(X) - (2t² + 1)q(X) のガロア群はHS に等しいことが示され、判別式がℚ(t) 内の平方であるため、前回のケースとは明確に区別される。
• モノドロミー群は、dessin d’enfant およびx, y のサイクル構造による幾何的検証と、置換群論および部分位数解析による代数的検証の両方で確認された。
• 有理関数f(X) = p(X)/q(X) が、0, 1, ∞ における3点分岐被覆であることが確認され、分岐型はx, y, z のサイクル構造と一致する。