[論文レビュー] Explicit Proofs and The Flip

Ketan Mulmuley|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、幾何的複雑性理論における「フラップ」戦略を提案し、P対NP問題における自己言及的パラドックスを解消する。そのために、容易に検証可能で、構築可能で、復号可能であるような、硬さの証明証明書（証拠）を構築する明示的証明を求める。任意の算術的P対NP予想の証明は、算術的回路の恒等性テストをブラックボックス的に非確率化できるならば、明示的証明に変換可能であり、より強い形のその非確率化は、代数幾何学における困難な明示的構成問題に対する多項式時間アルゴリズムを示唆する。

ABSTRACT

This article describes a formal strategy of geometric complexity theory (GCT) to resolve the {\em self referential paradox} in the $P$ vs. $NP$ and related problems. The strategy, called the {\em flip}, is to go for {\em explicit proofs} of these problems. By an explicit proof we mean a proof that constructs proof certificates of hardness that are easy to verify, construct and decode. The main result in this paper says that (1) any proof of the arithmetic implication of the $P$ vs. $NP$ conjecture is close to an explicit proof in the sense that it can be transformed into an explicit proof by proving in addition that arithmetic circuit identity testing can be derandomized in a blackbox fashion, and (2) stronger forms of these arithmetic hardness and derandomization conjectures together imply a polynomial time algorithm for a formidable explicit construction problem in algebraic geometry. This may explain why these conjectures, which look so elementary at the surface, have turned out to be so hard.

研究の動機と目的

• P対NP問題における自己言及的パラドックスを解消すること。すなわち、『発見は難しい』という主張が、その証明自体を排除する可能性があるという点に焦点を当てる。
• 幾何的複雑性理論（GCT）における形式的で体系的なアプローチとしての『フラップ』戦略を、硬さの明示的証明に正当化すること。
• 算術的非一様P対NP予想の任意の証明が、回路の恒等性テストをブラックボックス的に非確率化できるならば、明示的証明に近いものになることの証明。
• より強い形の非確率化および硬さの予想が、代数幾何学における困難な明示的構成問題に対する多項式時間アルゴリズムを示唆することの証明。
• 単純に思える複雑性理論的予想が、なぜこれほど困難であるかを、代数幾何学における深い問題と結びつけることによる説明。

提案手法

• 硬さの証明証明書（遮断要因）を短時間で検証可能で、構築可能で、復号可能である多項式時間内に構築できる証明を『明示的証明』と定義する。
• 『フラップ』を、硬さ問題（下界）を容易さ問題（上界）に還元する戦略として定義する。具体的には、P時間内で遮断要因の検証、構築、復号を行う。
• 硬さ対ランダムネスの原則と下向き自己還元性を用い、算術的回路の恒等性テストの非確率化が、任意の証明を明示的証明に変換可能であることを示す。
• 関数の対称性による特徴付け（群作用の下で、関数が少数の多項式恒等式によって一意に決定されること）を、恒等式の関数（たとえばパーマネントやE(X)）の主要な構造的性質として用いる。
• 非一様なco-RP/polyアルゴリズムを用い、回路が対称的に特徴付けられた関数を計算しているかどうかをテストする。これは関数の対称性群の構造を活用する。
• 有限体への拡張：十分に大きな有限体F_p（p > 2n）において、同様のフラップ定理が成り立ち、回路の次数を保存する制約のもとで成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己言及的パラドックスを、検証可能で、構築可能で、復号可能な硬さ証明証明書を構築する明示的証明を求める方法で解消できるか？
• RQ2 算術的P対NP予想の証明が、どの程度明示的証明に近いか。また、どのような追加仮定のもとで、それが明示的証明に変換可能か？
• RQ3 算術的回路の恒等性テストの非確率化と、幾何的複雑性理論における明示的証明の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 硬さおよび非確率化予想のより強い形は、代数幾何学における明示的構成問題に対する効率的アルゴリズムを示唆するか？
• RQ5 証明技法の剛性（特定の少数の関数にしか適用できないこと）は、P対NPを証明することがどれほど困難であるかとどのように関係するか？

主な発見

• 算術的非一様P対NP予想の証明は、算術的回路の恒等性テストをブラックボックス的に非確率化できるならば、明示的証明に変換可能である。
• フラップ戦略は、硬さ問題を上界問題（P時間内での遮断要因の検証、構築、復号）に還元する。
• 算術的硬さおよび非確率化予想のより強い形が、代数幾何学における困難な明示的構成問題に対する多項式時間アルゴリズムを示唆する。
• フラップ定理の証明技法は極めて剛性が高く、対称性によって特徴付けられる関数にのみ適用可能であり、そのような関数は高々$ 2^{ ext{poly}(n)} $個である。
• 対称性恒等式に非一様回路を用いても、フラップ定理は成立し、この手法は$ p > 2n $である有限体$ ext{F}_p $に対しても、次数を保存する制約のもとで拡張可能である。
• 証明手法の剛性（高々$ 2^{ ext{poly}(n)} $個の関数にしか適用できない）は、P対NPの証明が、自然証明の障壁よりもはるかに厳密である必要がある可能性を示唆する。