[論文レビュー] Explicit Quaternionic Contact Structures and Metrics with Special Holonomy

Luis Carlos de Andrés, Marisa Fernández+4 more|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非ゼロおよびゼロのトーションをもつリー群上に明示的な左不変 quaternionic contact (qc) 構造を構成し、quaternionic sphere に局所的に qc-共形でない quaternionic contact 多様体の存在を示している。8次元多様体上に新しい完全な quaternionic Kähler 及び Spin(7)-holonomy 度量を構成し、閉じた基本的4形式をもつ非コンパクトな例を含むが、それらは quaternionic Kähler ではない。これにより、特殊なホロノミーおよび qc 幾何における既知の幾何構造が拡張される。

ABSTRACT

We construct explicit left invariant quaternionic contact structures on Lie groups with zero and non-zero torsion, and with non-vanishing quaternionic contact conformal curvature tensor, thus showing the existence of quaternionic contact manifolds not locally quaternionic contact conformal to the quaternionic sphere. We present a left invariant quaternionic contact structure on a seven dimensional non-nilpotent Lie group, and show that this structure is locally quaternionic contact conformal to the flat quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group. On the product of a seven dimensional Lie group, equipped with a quaternionic contact structure, with the real line we determine explicit complete quaternionic Kaehhler metrics and $Spin(7)$-holonomy metrics which seem to be new. We give explicit complete non-compact eight dimensional almost quaternion hermitian manifolds with closed fundamental four form which are not quaternionic Kähler.

研究の動機と目的

• リー群上にトーションがゼロおよび非ゼロの明示的な左不変 qc 構造を構成すること。
• quaternionic sphere に局所的に qc-共形でない qc 多様体の存在を示し、従来の仮定に挑戦すること。
• 積構成を用いて、7次元の qc 構造から8次元多様体上に新しい完全な quaternionic Kähler 及び Spin(7)-holonomy 度量を生成すること。
• 閉じた基本的4形式をもつが quaternionic Kähler でない8次元の almost quaternion hermitian 多様体を明示的に示すこと。
• 曲率およびホロノミーの明示的公式を度量関数の用語で提示し、リッチ平坦性および完全な Spin(7) ホロノミーを検証すること。

提案手法

• 7次元の非可解リー群および四元数的ヘイゼンベルク群上に左不変 qc 構造を構成する。
• Biquard 接続を用いてトーションおよび曲率を定義し、qc-共形曲率テンソルを計算することで、局所的な qc-共形平坦性を評価する。
• 実直線との積構成を適用し、7次元多様体上の qc 構造から8次元多様体上の完全な度量を生成する。
• 閉じた基本的4形式をもつ明示的なリーマン度量を導出し、曲率2形式を用いてリッチ平坦性を検証する。
• 曲率2形式 Ω^i_j を評価し、少なくとも16個の独立な形式が得られることを示し、完全な Spin(7) ホロノミーを確認する。
• g(u) = √[(a - u^{5/3})/(20 u^{2/3})] という特定の度量アンサッツを用いて曲率成分を計算し、リッチ曲率が消えることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーションが非ゼロで qc-共形曲率が平坦でないリー群上に、明示的な左不変 qc 構造を構成できるか？
• RQ2 quaternionic sphere や平坦な四元数的ヘイゼンベルク群に局所的に qc-共形でない quaternionic contact 多様体は存在するか？
• RQ3 7次元リー群上の qc 構造から、新しい完全な quaternionic Kähler 度量を明示的に構成できるか？
• RQ4 閉じた基本的4形式をもつが quaternionic Kähler でない8次元 almost quaternion hermitian 多様体は存在するか？
• RQ5 度量関数 g(u) にどのような条件が満たされると、構成された度量でリッチ平坦性および完全な Spin(7) ホロノミーが得られるか？

主な発見

• 本稿は、トーションが非ゼロで qc-共形曲率が非ゼロである7次元の非可解リー群上に左不変 qc 構造を構成し、それが quaternionic sphere に局所的に qc-共形でないことを証明した。
• 7次元の qc 多様体と R の積を用いて、8次元多様体上に新しい完全な quaternionic Kähler 度量を明示的に構成した。この構成では、トーションがゼロの qc-平坦構造を用いた。
• 本稿は、四元数的ヘイゼンベルク群および7次元リー群上のトーションゼロの qc-平坦構造から派生する、8次元多様体上に新しい完全な Spin(7)-holonomy 度量を提示した。
• 明示的な曲率2形式を計算し、その線形独立性（少なくとも16個）を示し、ホロノミー群が Spin(7) に等しいことを確認した。
• 直接計算により、曲率2形式と双対基底を用いて、すべての i,j に対して Ric(X_i, X_j) = 0 が成り立つことから、リッチ曲率が恒等的にゼロであることが確認された。
• 曲率形式の独立性および曲率式における非ゼロ係数を確認することで、度量がリッチ平坦であり、かつ完全な Spin(7) ホロノミーを持つことが示された。