[論文レビュー] Explicit rank-metric codes list-decodable with optimal redundancy

Venkatesan Guruswami, Carol Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コードレート $R$ と $\varepsilon > 0$ に対して、$1 - R - \varepsilon$ のランクエラーをリストデコーディング可能な、最初の明示的構成を持つ線形ランク距離符号を提示する。メッセージ多項式を線形代数的リストデコーダーの構造的部分空間を避けるように注意深く選んだ $\mathbb{F}_h$-部分空間に制限することにより、部分空間設計と部分空間反発的集合を活用して、多項式リストサイズを達成する最適な冗長性を実現する。

ABSTRACT

We construct an explicit family of linear rank-metric codes over any field ${\mathbb F}_h$ that enables efficient list decoding up to a fraction $ρ$ of errors in the rank metric with a rate of $1-ρ-ε$, for any desired $ρ\in (0,1)$ and $ε> 0$. Previously, a Monte Carlo construction of such codes was known, but this is in fact the first explicit construction of positive rate rank-metric codes for list decoding beyond the unique decoding radius. Our codes are subcodes of the well-known Gabidulin codes, which encode linearized polynomials of low degree via their values at a collection of linearly independent points. The subcode is picked by restricting the message polynomials to an ${\mathbb F}_h$-subspace that evades the structured subspaces over an extension field ${\mathbb F}_{h^t}$ that arise in the linear-algebraic list decoder for Gabidulin codes due to Guruswami and Xing (STOC'13). This subspace is obtained by combining subspace designs contructed by Guruswami and Kopparty (FOCS'13) with subspace evasive varieties due to Dvir and Lovett (STOC'12). We establish a similar result for subspace codes, which are a collection of subspaces, every pair of which have low-dimensional intersection, and which have received much attention recently in the context of network coding. We also give explicit subcodes of folded Reed-Solomon (RS) codes with small folding order that are list-decodable (in the Hamming metric) with optimal redundancy, motivated by the fact that list decoding RS codes reduces to list decoding such folded RS codes. However, as we only list decode a subcode of these codes, the Johnson radius continues to be the best known error fraction for list decoding RS codes.

研究の動機と目的

• 高レートのランク距離符号を明示的に構成し、一意デコーディング半径を超えてリストデコーディング可能にする。
• ガビドゥリン符号における大きな体サイズの課題を、部分空間反発的部分符号を用いることで克服する。
• 構成法を部分空間符号および折りたたみ Reed-Solomon 符号に拡張し、ハミング距離におけるリストデコーディングを実現する。
• 最適な冗長性を持つリストデコーダブル符号の、従来のモンテカルロ手法に代わる明示的代替手法を提供する。
• 正のレートを持つランク距離符号の、最小距離の半分を超える誤りをリストデコーディング可能な最初の明示的構成を確立する。

提案手法

• 線形代数的リストデコーダーの構造的部分空間を避けるように、メッセージ多項式を $\mathbb{F}_h$-部分空間に制限することで、ガビドゥリン符号の明示的部分符号を構成する。
• Guruswami と Kopparty (FOCS'13) の部分空間設計を用いて、候補となるリストデコーダ出力との交差を制御する。
• Dvir と Lovett (STOC'12) の部分空間反発的多様体を統合し、部分符号がデコーダ出力部分空間と小さな交差を持つことを保証する。
• 折りたたみ次数が小さい場合の折りたたみ Reed-Solomon 符号にこの構成法を適用し、ハミング距離における最適な冗長性を持つリストデコーディングを実現する。
• 折りたたみ RS 符号のリストデコーディングが、折りたたみ次数が小さい部分符号のリストデコーディングに帰着されることを活用する。
• 最終的なリストが、$s$ が誤り割合を制御し、$\varepsilon$ がレート損失を制御する $\mathbb{F}_h$-部分空間の次元 $O(s^2/\varepsilon^2)$ に含まれるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的で高レートのランク距離符号を構成でき、一意デコーディング半径を超えてリストデコーディング可能であるか？
• RQ2 モンテカルロ手法ではなく、明示的構成により最適な冗長性を持つランク距離符号のリストデコーディングを達成可能か？
• RQ3 同じ手法を部分空間符号および折りたたみ Reed-Solomon 符号に拡張し、ハミング距離におけるリストデコーディングに応用可能か？
• RQ4 冗長性 $1 - R - \varepsilon$ を持つ明示的リストデコーダブルランク距離符号の最小リストサイズは何か？
• RQ5 部分空間反発的集合を用いて、誤り割合 $1 - R - \varepsilon$ に対して、多項式的（$\text{poly}(1/\varepsilon)$）リストサイズを持つ符号を構成可能か？

主な発見

• 本稿では、ガビドゥリン符号の $\mathbb{F}_h$-線形部分符号を明示的に構成し、レート $(1 - \varepsilon)k/n$ およびリストデコーディング半径 $s(n - k)/(s + 1)$ のランクエラーを達成する。
• 最終的なリストは、$O(s^2/\varepsilon^2)$ 次元の $\mathbb{F}_h$-部分空間に含まれており、多項式リストサイズを保証する。
• 構成法により、$s$ が増加するにつれて、情報理論的限界 $1 - R$ に近いリストデコーディング半径が達成される。
• 部分空間符号に対して、本稿は、折りたたみを用いず、一意デコーディング半径を超える高レートでリストデコーダブルな符号の最初の明示的構成を提供する。
• 本手法は、折りたたみ次数が小さい折りたたみ Reed-Solomon 符号にも適用可能であり、最適な冗長性を持つ部分符号をリストデコーディング可能にする。
• 従来の明示的符号はレートが多項式的に小さくしか達成できなかったが、本構成法はそれらを改善し、モンテカルロ手法に代わる決定的代替手法を提供する。