[論文レビュー] Explicit recurrence criteria for symmetric gradient type Dirichlet forms satisfying a Hamza type condition

Minjung Gim, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、弱い正則性仮定の下で、特に1次元および高次元において、対称勾配型Dirichlet形式の明示的再帰基準を確立する。そのために、Dirichlet空間内に構成的な関数列 $(u_n)$ を用いる。主たる貢献は、逆重み関数の可積分性に基づく一般化された再帰条件であり、これは以前の結果をより正則性の低い係数へと拡張し、反射境界を含む場合や含まない場合を含む。

ABSTRACT

In this note, we present explicit conditions for symmetric gradient type Dirichlet forms to be recurrent. This type of Dirichlet form is typically strongly local and hence associated to a diffusion. We consider the one dimensional case and the multidimensional case, as well as the case with reflecting boundary conditions. Our main achievement is that the explicit results are obtained under quite weak assumptions on the closability, hence regularity of the underlying coefficients. Especially in dimension one, where a Hamza type condition is assumed, the construction of the sequence of functions $(u_n)_{n\in \N}$ in the Dirichlet space that determine recurrence works for quite general Dirichlet forms but is still explicit.

研究の動機と目的

• 係数に関する最小限の正則性仮定の下で、対称勾配型Dirichlet形式の再帰性を示す明示的かつ検証可能な条件を導出すること。
• 元のDirichlet形式が必ずしも非可約でない、あるいはより弱い正則性条件を満たす場合に、既知の再帰基準を拡張すること。
• 形式が強く正則でない場合でも、再帰性を決定づける関数列 $(u_n)$ を構成的に生成する方法を提供すること。
• [1]および[8]の結果を、閉包性および係数の正則性に関する仮定を緩和しながらも、明示性を維持する形で一般化すること。
• 反射境界条件や非Lebesgue測度を伴う場合を含め、一般の測度空間上の拡散過程への応用性を拡大すること。

提案手法

• コンパクトな台を持つリプシッツ関数からなる関数列 $(u_n)$ を構成し、$0 \leq u_n \leq 1$、$u_n \nearrow 1$ $dx$-a.e. かつ $\mathcal{E}(u_n, u_n) \to 0$ ($n \to \infty$) となるようにすること。
• 関数 $u_n(x)$ を、半径 $r$ に関する径方向関数として定義し、拡散係数および基準測度から導かれる重み関数 $\psi(r)$ の逆関数を用いて、1から0へと変化させる。
• 成長する中空領域における $\psi^{-1}$ の $L^1$-ノルムを用いて正規化定数 $a_n = \int_{a+1}^{a+1+n} \psi^{-1}(s) \, ds$ を定義し、$u_n \in D(\mathcal{E})$ であることを保証すること。
• 径対称性と高次元における $|x|^{2-2d}/\phi(|x|)$ の減衰率を用いて、中空領域における積分を用いてDirichletエネルギー $\mathcal{E}(u_n, u_n)$ を評価すること。
• 行列ノルム $\|A(x)\|$ を用いた比較推定を適用し、$|x|$ が十分に大きい場合に $\|A(x)\| \varphi(x) \leq \phi(|x|)$ が成り立つと仮定することで、エネルギーの増加を制御すること。
• 条件 $a_n \to \infty$ の下で $\mathcal{E}(u_n, u_n) \leq C / a_n \to 0$ ($n \to \infty$) を示すことにより、再帰性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数および基準測度に対してどのような明示的条件が、対称勾配型Dirichlet形式の再帰性を保証するか？
• RQ2 係数に関する最小限の正則性仮定のもとで、再帰性を決定づける関数列 $(u_n)$ を明示的に構成可能か？
• RQ3 同じ仮定のもとで、1次元と高次元の設定における再帰基準の振る舞いはどのように異なるか？
• RQ4 反射境界条件や非Lebesgue基準測度を含む場合に、結果をどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 自然スケールが存在する1次元において、再帰条件は体積成長基準と同値か？

主な発見

• 1次元において、Hamza型条件のもとで、再帰基準は十分かつ自然スケールの存在と同値であり、既知の結果を一般化する。
• 高次元のDirichlet形式においては、$a_n = \int_{\overline{B_n(0)} \setminus B_\rho(0)} \frac{|y|^{2-2d}}{\phi(|y|)} \, dy \to \infty$ ($n \to \infty$) が成り立つ場合に再帰が成立する。ここで $\phi$ は $\|A(x)\| \varphi(x)$ を上から支配する。
• Dirichletエネルギー $\mathcal{E}(u_n, u_n)$ は $C / a_n$ で上から抑えられ、$n \to \infty$ のとき 0 に収束するため、再帰性が示される。
• $u_n(x) = \psi_n(|x|)$ として構成された関数列は回転対称的であり、可測かつDirichlet空間 $D(\mathcal{E})$ に属する。
• 本手法は非Lebesgue基準測度 $\mu = \varphi \, dx$ に対しても適用可能であり、滑らかでない、非可約な係数に対しても適用可能である。
• 反射拡散過程およびより一般の開集合に対しても結果が拡張可能であり、Remarks 2.3, 3.3, および 4.4 で示されている。