[論文レビュー] Explicit reduction modulo $p$ of certain crystalline representations

Kevin Buzzard, Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$p$-進局所ラングランズ対応を用いて、$p$-adic slopeが小さいモジュラー形式に関連する2次元クリスタリン表現のmod $p$還元を明示的に計算する。主な結果は、$p \nmid N$ かつ $0 < v(a_p) < 1$ のとき、重み、字、$q$-展開係数を用いて $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ の完全な分類を与えるもので、半単純化されたmod $p$ ガロア表現が、階数2の基本的字から来る誘導表現であるか、あるいは非分岐およびサイクロトミックな字を持つ可約表現であることを示している。

ABSTRACT

We use the p-adic local Langlands correspondence for GL_2(Q_p) to explicitly compute the reduction modulo p of crystalline representations of small slope, and give applications to modular forms.

研究の動機と目的

• $p \nmid N$ かつ $v(a_p)$ が小さいとき、モジュラー形式に付随する2次元クリスタリン表現のmod $p$ 還元を明示的に決定すること。
• 有利な場合に $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ が重み、字、$f$ の $q$-展開から読み取れるかどうかという実用的問題を解明すること。
• $p$-進局所ラングランズ対応を用いて、既知の局所ガロア表現の結果をmod $p$ 設定へと拡張すること。
• レベルが $p$ と素で、重み $k \geq p+3$ で $0 < v(a_p) < 1$ であるモジュラー形式の、半単純化されたmod $p$ 局所ガロア表現の完全な分類を提供すること。

提案手法

• $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ における $p$-進局所ラングランズ対応を用いて、$p$-進ガロア表現を $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ の滑らかな表現と関連付ける。
• $\overline{\mathbf{Z}}_p$ を係数とするモジュラー形式の空間におけるヘッケ作用素 $T_p$ の作用を分析し、mod $p$ 還元における像に注目する。
• 誘導表現 $\operatorname{ind}_{KZ}^G(\operatorname{Sym}^r(\overline{\mathbf{Q}}_p^2))$ におけるヘッケ作用素 $T$ の明示的公式を適用し、mod $p$ 商 $\overline{\Theta}_{k,a_p}$ の構造を研究する。
• 特に $\omega_2$ を用いた階数2の基本的字の理論を用いて、既約なmod $p$ ガロア表現を二次拡大からの誘導表現として分類する。
• 局所クラス理論を用いて、mod $p$ ガロア表現を $\mathbf{Q}_p^\times$ および $\mathbf{Q}_{p^2}^\times$ の字として解釈し、明示的な分類を可能にする。
• [AS86] および [Bre03b] の結果を応用し、特にレベル1形式に対して、小規模な $p$ について有限のチェックに帰着して分類を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み、字、モジュラー形式 $f$ の $q$-展開から、$p \nmid N$ のとき $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ を明示的に決定できるか？
• RQ2 重み $k \geq p+3$ かつ $0 < v(a_p) < 1$ であるモジュラー形式に対して、$\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 小スロープ領域において、$\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ がいつ既約または可約であるかの条件は何か？
• RQ4 レベル1のモジュラー形式について、$p \leq 53$ の範囲で、$(0,1)$ のスロープが現れることがあるか？
• RQ5 mod $p$ 局所ガロア表現は、$p$-adicスロープと重みのみによって決定されるのか、それとも $\mathcal{L}$-不変量が関与するのか？

主な発見

• 重み $k \geq p+3$、レベルが $p$ と素、$0 < v(a_p) < 1$ であるモジュラー形式に対して、mod $p$ ガロア表現 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ は、ある $g \in [0, p-2]$ に対して $\operatorname{ind}(\omega_2^{g+1})$ に同型であるか、$k \equiv 3 \pmod{p-1}$ ならば $\omega \oplus \omega$ に同型である。
• 半単純化されたmod $p$ 表現 $\overline{\rho}_f|_{D_p}^{ss}$ は、Iwahori部分群の表現 $\sigma_s$ からの誘導 $I(\sigma_s)$ の商である。ここで $s \equiv p-1 - r \pmod{p-1}$ かつ $r = k-2$ である。
• $k \geq p+3$ かつ $0 < v(a_p) < 1$ のとき、空間 $X(k,a_p)$ は、$\overline{\theta}\sigma_{r-(p+1)}$ および $y^r$ で生成される部分表現の像を含み、次元 $p-1$ の部分表現による商となる。
• すべての $2 \leq p \leq 53$ に対して、重み $k$ のレベル1モジュラー形式は、$p$-adicスロープが $(0,1)$ の範囲に現れない。すべてのこのような形式は $T_p$-固有値が $p$-進単数である。
• 結果は鋭い：$p=59$ のとき、重み16のレベル1の尖点形式でスロープ $1/2$ を持つものが存在し、mod $p$ 表現は既約である。これにより、$p \leq 53$ の範囲でこのようなスロープが存在しないという結論の最適性が示される。
• 分類は $v(a_p) = 1/2$ の場合にも成立し、$k = 2p+1$、$p > 2$ のとき、数値例により可約および既約の両方が生じ得ることが示されている。