[論文レビュー] Explicit solution for Stefan problem with latent heat depending on the position and a convective boundary condition at the fixed face using Kummer functions

Julieta Bollati, Domingo A. Tarzia|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Phase Change Materials Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位置に依存する融解熱と固定面における対流境界条件を有する一次元ステファン問題に対して、コンフラuent超幾何（クーマー）関数を用いた明示的な解析解を提示する。移動界面問題は変数変換により固定領域問題に変換され、主な貢献は特殊関数を用いた移動界面および温度分布の閉形式表現であり、非一様な融解熱および対流条件下での相変化ダイナミクスの正確な解析を可能にする。

ABSTRACT

An explicit solution of a similarity type is obtained for a one-phase Stefan problem in a semi-infinite material using Kummer functions. Motivated by [D.A. Tarzia, Relationship between Neumann solutions for two phase Lam\\'e-Clapeyron-Stefan problems with convective and temperature boundary conditions, Thermal Sci.(2016) DOI 10.2298/TSCI 140607003T, In press], and [Y. Zhou, L.J. Xia, Exact solution for Stefan problem with general power-type latent heat using Kummer function, Int. J. Heat Mass Transfer, 84 (2015) 114-118], we consider a phase-change problem with a latent heat defined as a power function of the position with a non-negative real exponent and a convective boundary condition at the fixed face $x=0$. Existence and uniqueness of the solution is proved. Relationship between this problem and the problems already solved by Zhou and Xia with temperature and flux boundary condition is analysed. Furthermore it is studied the limit behaviour of the solution when the coefficient which characterizes the heat transfer at the fixed boundary tends to infinity. Numerical computation of the solution is done over certain examples, with a view to comparing this results with those obtained by general algorithms that solve Stefan problems.

研究の動機と目的

• 位置に依存する融解熱および対流境界条件を有するステファン問題に対する明示的解の欠如を解消すること。
• 融解熱が空間的に変化する現象をモデル化し、温度依存性または空間的に不均一なエネルギー吸収を示す実際の材料を反映すること。
• 固定境界における対流熱伝達を組み込むことで、古典的ステファン問題の解を拡張し、物理的現実性を向上させること。
• 移動界面および温度分布の両者に対して、クーマー関数を用いた閉形式の解析的解を導出すること。
• 複雑な熱的性質を有する溶融／凍結過程における一時的熱伝達を数学的に厳密に分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 移動界面問題を、移動界面を固定座標に写像する変数変換を用いて固定領域問題に変換する。
• 変換された変数における偏微分方程式を、線形化または相似変換を用いて常微分方程式に簡略化する。
• 解析的取り扱いが容易で既知の漸近的挙動を有するため、得られた常微分方程式の基本解としてコンフラuent超幾何（クーマー）関数を用いる。
• 変換された領域におけるロビン型の境界条件を適用することで、固定面における対流境界条件を組み込む。
• 変換された座標系において、積分エネルギー収支およびステファン条件を満たすことで、時間関数としての移動界面位置を導出する。
• 物理的境界条件および極限ケースとの整合性を確認することで、解の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融解熱が位置に依存し、固定面に対流境界条件が適用される場合に、明示的な解析的解を導出できるか？
• RQ2 クーマー関数は、この文脈における変換された境界値問題の解法をどのように支援するか？
• RQ3 位置に依存する融解熱および対流境界条件下で、時間の関数としての移動界面位置の関数的形態は何か？
• RQ4 対流熱伝達を組み込むことで、標準的なディリクレ条件またはノイマン条件と比較して、相変化プロセスのダイナミクスにどのような影響を与えるか？
• RQ5 解が物理的に有効であり、数学的に適切に定義されるための条件は何か？

主な発見

• 時間の関数としての移動界面位置の明示的解析的解が、クーマー関数を用いて導出された。
• 液体相における温度分布は、コンフラuent超幾何関数を用いて閉形式で得られ、数学的精度が保証される。
• 解は、ステファン条件および固定面における対流境界条件を数値近似なしに正確に満たす。
• 位置に依存する融解熱は、熱方程式における変数係数としてエネルギー収支に組み込まれ、変換法により取り扱われる。
• 反復的または数値的手法を用いずに、界面速度および温度プロファイルを決定できる。
• 解は特定のパrameter制約下で有効であり、解析的チェックにより収束性および物理的一致性が検証された。