[論文レビュー] Exploded Fibrations

Brett Parker|arXiv (Cornell University)|May 16, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アディアバティック極限におけるシンプレクティック多様体および正則曲線の退化をモデル化するため、滑らか多様体のカテゴリを拡張する「爆発ファイブレーション」を導入する。正則曲線の摂動理論および爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションにおける交線論の枠組みを確立し、$imega$-安定な曲線のモジュライ空間がフレシェ・オrbifold爆発ファイブレーションとして構造化できることを示し、解消と摂動を用いた仮想モジュライ空間の構成を可能にする。

ABSTRACT

Initiated by Gromov, the study of holomorphic curves in symplectic manifolds has been a powerfull tool in symplectic topology, however the moduli space of holomorphic curves is often very difficult to find. A common technique is to study the limiting behavior of holomorphic curves in a degenerating family of complex structures which corresponds to a kind of adiabatic limit. The category of exploded fibrations is an extension of the smooth category in which some of these degenerations can be described as smooth families. The first part of this paper is devoted to defining exploded fibrations and a slightly more specialized category of exploded torus fibrations. Later sections contain the transverse interesction theory for exploded fibrations and some examples of holomorphic curves in exploded torus fibrations, including a brief discussion of the relationship between tropical geometry and exploded torus fibrations. In the final section, the perturbation theory of holomorphic curves in exploded torus fibrations is sketched.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体およびアディアバティック極限における正則曲線の退化を記述するため、滑らかカテゴリを拡張すること。
• 正則曲線理論に適した爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションのカテゴリを定義すること。
• 爆発ファイブレーションにおける正則曲線の良い交線論を確立すること。
• 爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションにおける$imega$-安定な正則曲線の摂動理論を構築すること。
• 滑らかで重み付き分岐した爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションとしての正則曲線の仮想モジュライ空間を構成すること。

提案手法

• 対数的およびポリフォール構造を用いて退化を含む滑らかカテゴリの拡張として爆発ファイブレーションを定義する。
• 正則曲線の応用に特化したサブカテゴリとして爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションを導入する。
• 正則曲線を$ibar{\dots}$作用素を用いて定義し、$ibar{\partial}f = \frac{1}{2}(df + J \circ df \circ j)$により定義する。
• モジュライ空間$ifrak{M}^{sm}_{g,n}(\mathfrak{B},\omega)$上の反正則セクションのフレシェ・オルビフォールド爆発ファイブレーション$ifrak{E}_{g,n}(\mathfrak{B},\omega)$を構成する。
• 爆発$\mathbb{T}$ファイブレーション上のベクトルバンドルの完全系列を用いて、局所的に有限次元近似により摂動問題をモデル化する。
• 非特異な重み付き分岐爆発ファイブレーションによるゼロセクションの解消を通じて、$ibar{\partial}$との横断的交差を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体および正則曲線の退化は、拡張されたカテゴリにおける滑らかな族としてモデル化可能か？
• RQ2 爆発ファイブレーションの文脈で交線論はどのように定義可能か？
• RQ3 爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションにおける$imega$-安定な正則曲線のモジュライ空間の構造は何か？
• RQ4 この拡張された枠組みにおいて正則曲線の摂動理論は構築可能か？
• RQ5 正則曲線の仮想モジュライ空間は滑らかな爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションとしてどのように表現可能か？

主な発見

• $imega$-安定な滑らかな爆発曲線のモジュライ空間$ifrak{M}^{sm}_{g,n}(\mathfrak{B},\omega)$は、自然にフレシェ・オルビフォールド爆発ファイブレーションとしての構造を持つ。
• 反正則セクションの空間$ifrak{E}_{g,n}(\mathfrak{B},\omega)$は、モジュライ空間上にフレシェ・オルビフォールド爆発ファイブレーションをなしており、$ibar{\partial}$は滑らかなセクションである。
• $ibar{\partial}$作用素は一般化された意味でフレドホルムであると予想され、爆発$\mathbb{T}$ファイブレーション上のベクトルバンドルの完全系列による局所モデルを有する。
• 仮想モジュライ空間は、ゼロセクションの解消と摂動を用いて、滑らかで重み付き分岐した爆発$\mathbb{T}$ファイブレーションとして表現可能である。
• この枠組みにより、$ibar{\partial}$とゼロセクションの局所的横断的交差が有限次元問題としてモデル化可能である。
• この理論は、退化と摂動を用いた非代数的シンプレクティック設定におけるグロモフ＝ウィッテン不変量の計算の基盤を提供する。