[論文レビュー] Exploring $2d$ localization with a step dependent coin

Kallol Sen|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2023

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元量子ウォークにおける段階依存コイン演算子を導入し、確率分布およびエントロピー的測度を用いて強い局在化を示した。主な結果は、特定のパラメータ選択（例：θ = π/(4j)）が、局在長さがゼロの完全な局在を引き起こすことであり、シャノンエントロピーのゼロ、エンタングルメントの振動、および摂動的予測と一致する転送行列解析によって確認された。

ABSTRACT

We generalize the coin operator of \cite{Zahed_2023}, to include a step dependent feature which induces localization in $2d$. This is evident from the probability distributions which can be further used to categorize the localized walks. Localization is also evident from the entropic measures. We compute and compare three distinct measures (a) Shannon Entropy in the position and coin space, (b) Entanglement entropy between position and spin space, and (c) Quantum Relative Entropy which is a POVM of density operators of the step dependent and step independent coins. Shannon Entropy and Entanglement Entropy are periodic and bounded functions of the time steps. The zeros of Shannon and Entanglement entropies signify a complete localization of the wave-function. The Quantum Relative Entropy and Quantum Information Variance exhibit a similar periodic feature with a zero minima where the step dependent and step independent walks coincide. Finally, we compute the numerical localization length (inverse of the Lyapunov Exponent) for the step dependent coin as a function of energy and compare with an approximate perturbative computation, where we put the step dependent coin as a perturbation in the background of a step independent coin. In both the instances, we find that the localization length peaks at approximately the same positions in the momentum space.

研究の動機と目的

• 2次元量子ウォークにおけるコイン演算子を一般化し、波動関数の局在化を誘導する段階依存的特徴を組み込むこと。
• 段階依存コインが2次元量子ウォークにおける確率分布およびエンタングルメントダイナミクスに与える影響を分析すること。
• シャノン、エンタングルメント、量子相対エントロピーといった複数のエントロピー的測度を用いて局在化を特徴づけ、段階依存および段階独立ウォークを比較すること。
• 転送行列法を用いて局在長さを計算し、摂動的近似と比較すること。
• コインパラメータを調整することにより、コンパクト、半古典的、完全に局在したウォーク領域間の遷移を探索すること。

提案手法

• 段階依存コイン演算子は、時間発展するSU(4)行列として定義され、パラメータθ₁、θ₂、φを用い、段階番号tに依存する位相および振幅変調を導入する。
• 局在化および広がりのパターンを可視化するため、異なるθ値（例：π/(4j)、π/(4j−1)）に対して数値的に確率分布を計算する。
• 位置空間およびコイン空間におけるシャノンエントロピー、位置とコインの間のエンタングルメントエントロピー、SDCとSICウォーク間の量子相対エントロピーを動的観測量として計算する。
• 転送行列法を用いてSDCウォークのリャプノフ指数を計算し、したがって局在長さ（リャプノフ指数の逆数）を計算する。
• 摂動的近似では、段階依存コインを段階独立コインの背景に摂動として扱い、数値結果と解析的に比較可能にする。
• 量子相対エントロピーおよび量子情報分散を用いて、各時刻におけるSDCとSICウォークの区別可能性を定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段階依存コイン演算子は、段階独立コインと比較して、2次元量子ウォークにおいてどのように局在化を誘導するか？
• RQ2 シャノン、エンタングルメント、量子相対エントロピーといったエントロピー的測度は、局在化の診断およびSDCとSICウォークの区別にどのような役割を果たすか？
• RQ3 局在長さのピークは運動量空間でどこに現れ、数値的および摂動的計算結果とどのように比較されるか？
• RQ4 どのようなパラメータ領域（例：θ = π/(4j) 対 θ = π/(4j−1)）において、ウォークが広がりから完全な局在に遷移するか？
• RQ5 転送行列の構造は、非自明な hopping 項を持つ有効なアンドリューイ・ハミルトニアンとどのように関係するか？

主な発見

• θ = π/(4j) の場合、確率分布は原点に完全に局在し、非ゼロ確率点の数が有界かつ周期的であるため、完全な局在が示された。
• シャノンエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーはゼロと上限値の間を振動し、ゼロは完全な局在および分離状態を示す。
• 量子相対エントロピーおよび量子情報分散は周期的であり、ゼロで最小値を示し、このときSDCとSICウォークが一致する。最大値は最大の区別可能性を示す。
• 転送行列法により計算された局在長さは、θ = π/(4j) ではゼロであり、完全な局在と整合的である。一方、θ = π/(4j−1) ではω ≈ ±π/2でピークを示す。
• 摂動的計算による局在長さは数値結果と一致し、運動量空間におけるピーク位置も同一であった。
• θ = π/(4j) の場合、D(ρ||σ) > V(ρ||σ) であり、θが減少するにつれて単調に増加する。一方、θ = π/(4j−1) の場合、逆の関係が成り立ち、異なるダイナミクス的領域を示す。