[論文レビュー] Exploring group theory and topology for analyzing the structure of biological hierarchies

Shun Adachi|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Evolutionary Game Theory and Cooperation参考文献 94被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、群論と位相幾何学を用いて種と集団を区別するための新しい指標、小文字の $s$ を、修正されたプライス方程式とゼータ関数から導出する。これは、フラクタル的種構造の臨界閾値として $\Re(s) = 2$ を特定し、種を $p$-シロウ部分群として定義する。非相互作用種では $|N(p)| = 2/3$ を示し、中立的集団では $|N(p)| = 1$ を示す。これにより、変動する集団と秩序ある種の間の位相的境界が確認される。

ABSTRACT

The concepts of population and species play a fundamental role in biology. The existence and precise definition of higher-order hierarchies, such as division into species, is open to debate among biologists. We seek to show a fractal structure of species by utilizing group theory, topology, and a set of zeta functions. First, we present a new metric, small $s$, that uses data from the natural environment to measure extents that are beyond the range of neutral (harmonic) logarithmic populations and are specific to a given species. We define this metric by modifying the Price equation, utilizing a Dirichlet series and an operator based on number theory. As expected, the box dimension of our model is $\dim_BA = 2$ and 2 is a critical line for the appearance of the fractal structure of species, which is confirmed by observation. Prime $p$ numbers can be calculated from corresponding $\Im(s)$ values of non-trivial zero points of the Riemann zeta function. Integrating all methods, we are able to define a species as a $p$-Sylow subgroup of a particular community in a single niche, confirmed by topological analysis. Calculation of the norm of prime closed geodesics $|N(p)|$ shows that noninteracting adaptive species are in the mode $|N(p)| = 2/3$, while interacting neutral populations are in the mode $|N(p)| = 1$. The border between fluctuating populations and ordered species is $\Re(s) = 2$, as expected by various sets of fractal zeta functions. The mod 4 of primes corresponding to $\Im(s)$, the zero points of the Riemann zeta function and the Hurwitz zeta function, reveal adaptive and disadaptive situations among individuals. We thus posit a metric that is useful for discrimination between population data and species data. In our patch with zeta dominance (PzDom) model, calculations only require knowledge of the density of individuals over time.

研究の動機と目的

• 従来の基準を超えた種の定義のための数学的枠組みを提供することで、生物学的議論における上位階層の階層について解決すること。
• 数論と位相幾何学を用いて、集団レベルのダイナミクスと種レベルの組織の差を明確にする厳密な指標を確立すること。
• ボックス次元 $\dim_B A = 2$ を通じて、種がフラクタル的構造を示すことを実証し、ゼータ関数解析と測地線ノルム計算によって裏付けられること。
• $\Im(s)$ 値と mod 4 分析を通じて、素数とリーマンゼータ関数の非自明な零点を、適応的および非適応的生物学的状態と結びつけること。

提案手法

• 非中立的で種特異的な集団の広がりを捉えるために、ディリクレ級数と数論的作用素を用いた修正されたプライス方程式から導出される新しい指標、小文字の $s$ を導入する。
• リーマンゼータ関数とヒルベルトゼータ関数を用いて、生物学的階層におけるフラクタル的構造をモデル化し、$\Re(s) = 2$ のような臨界線を特定する。
• コミュニティのニッチ内での $p$-シロウ部分群として種を定義し、群論を用いて、素数の冪の順序を最大にする部分群として種を形式化する。
• 素数の閉じた測地線のノルム $|N(p)|$ を計算することで、適応的種（$|N(p)| = 2/3$）と中立的集団（$|N(p)| = 1$）を区別する。
• 非自明なゼータ関数の零点の $\Im(s)$ 値から導かれる素数の mod 4 分類を用いて、適応的または非適応的個体状態を評価する。
• 時間的密度データのみを必要とする、ゼータ優位性（PzDom）のパッチモデルを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論とゼータ関数を用いて、種と集団を区別する数学的指標を開発できるか？
• RQ2 変動する集団と秩序あるフラクタル的種構造を分ける臨界値 $\Re(s)$ は何か？
• RQ3 非相互作用的適応的種と相互作用的中立的集団との間で、素数の閉じた測地線のノルム $|N(p)|$ はどのように異なるか？
• RQ4 非自明なゼータ関数の零点の虚部 $\Im(s)$ が、素数の mod 4 分類を通じて、適応的または非適応的生物学的状態とどの程度相関するか？
• RQ5 PzDomモデルは、個体の時間的密度データのみを用いて、正確に種の境界を再構築できるか？

主な発見

• モデルのボックス次元は $\dim_B A = 2$ であり、種におけるフラクタル的構造を確認し、$\dim_B A = 2$ が種出現の臨界閾値であると特定する。
• 臨界線 $\Re(s) = 2$ は、変動する集団と秩序ある種を分けるものであり、複数のゼータ関数フレームワークで一貫して確認される。
• 非相互作用的適応的種は $|N(p)| = 2/3$ で特徴づけられ、相互作用的中立的集団は $|N(p)| = 1$ のモードにある。これにより、位相的識別子が得られる。
• 非自明なリーマンゼータ関数の零点の $\Im(s)$ 値に対応する素数は、mod 4 分類によって適応的および非適応的状態を明らかにする。
• PzDomモデルは、追加の生態的または遺伝的パrameterを必要とせず、時間的密度データのみで種の同定を可能にする。
• 素数の閉じた測地線のノルム $|N(p)|$ は、進化的モードを定量化する指標として機能し、$|N(p)| = 2/3$ は適応的種分化を示唆する。