[論文レビュー] Exploring Lee-Yang and Fisher Zeros in the 2D Ising model through multipoint Padé approximants

Simran Singh, Massimo Cipressi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2023

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体積モンテカルロシミュレーションを用いて、2次元イジング模型におけるリー＝ヤン零点およびフィッシャー零点を数値的に抽出するための、マルチポイントパデ近似の新規応用を提示する。複数の磁場および逆温度の点における分配関数の積率を分析することで、複素平面上の零点および極を正確に特定し、臨界指数の高精度な推定値を得た。具体的には、$\beta\delta = 1.879(16)$ および $\nu = 1.014(60)$ を得ており、$\beta_c = 0.4405(5)$ と一致する。この結果は、本手法が相転移研究において堅牢であることを確認する。

ABSTRACT

We present a numerical calculation of the Lee-Yang and Fisher zeros of the 2D Ising model using multi-point Padé approximants. We perform simulations for the 2D Ising model with ferromagnetic couplings both in the absence and in the presence of a magnetic field using a cluster spin-flip algorithm. We show that it is possible to extract genuine signature of Lee Yang and Fisher zeros of the theory through the poles of magnetization and specific heat, using multi-point Padé method. We extract the poles of magnetization using Padé approximants and compare their scaling with known results. We verify the circle theorem associated to the well known behaviour of Lee Yang zeros. We present our finite volume scaling analysis of the zeros done at $T=T_c$ for a few lattice sizes, extracting to a good precision the (combination of) critical exponents $βδ$. The computation at the critical temperature is performed after the latter has been determined via the study of Fisher zeros, thus extracting both $β_c$ and the critical exponent $ν$. Results already exist for extracting the critical exponents for the Ising model in 2 and 3 dimensions making use of Fisher and Lee Yang zeros. In this work, multi-point Padé is shown to be competitive with this respect and thus a powerful tool to study phase transitions.

研究の動機と目的

• 有限体積系におけるリー＝ヤン零点およびフィッシャー零点を、マルチポイントパデ近似を用いて抽出する手法を開発・検証すること。
• モンテカルロシミュレーションに起因する統計的ノイズの存在下でも、マルチポイントパデ法の堅牢性を検証すること。
• 2次元イジング模型における有限サイズスケーリングを用いて、リー＝ヤン零点およびフィッシャー零点の位置から臨界指数 $\beta\delta$、$\nu$、$\beta_c$ を抽出すること。
• リー＝ヤン零点の円定理が成立することを検証し、フィッシャー零点解析による $T_c$ の自己無撞着な決定が妥当であることを確認すること。
• マルチポイントパデ法が、格子模型における臨界現象の解析において、従来の有限サイズスケーリングと競合可能な代替手法として確立されること。

提案手法

• 本手法は、外部磁場 $H$ および逆温度 $\beta$ の複数の値で評価された分配関数の主要積率を再結合するマルチポイントパデ近似を用いる。
• 磁化は $H$ の有理関数としてマルチポイントパデ近似され、その極を分析することで複素 $H$ 平面上のリー＝ヤン零点を特定する。
• 比熱についても同様に $\beta$ の有理関数として近似し、複素 $\beta$ 平面上のフィッシャー零点を特定する。
• 有限サイズスケーリングを、最も近いリー＝ヤン零点およびフィッシャー零点の位置に適用し、臨界指数 $\beta\delta$、$\nu$、$\beta_c$ を抽出する。
• シミュレーションは、$T_c$ における正方格子（サイズ $L$ が変化）に対して、クラスタースピン反転アルゴリズムを用い、各 $H$ や $\beta$ に対して $\sim 650$K 個の配置データを高統計量で取得することで精度を確保する。
• 誤差解析は $\chi^2/dof$ および信頼区間を用いて、臨界指数のスケーリング則へのフィットの信頼性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチポイントパデ近似は、統計的ノイズを含む有限体積モンテカルロデータから、リー＝ヤン零点およびフィッシャー零点を信頼性高く抽出できるか？
• RQ2 磁化および比熱の近似式の極は、2次元イジング模型におけるリー＝ヤン零点の既知の円定理を再現するか？
• RQ3 最も近いリー＝ヤン零点およびフィッシャー零点の有限サイズスケーリングから、臨界指数 $\beta\delta$、$\nu$、$\beta_c$ の高精度な推定値を得られるか？
• RQ4 フィッシャー零点解析により臨界温度 $T_c$ が自己無撞着に決定され、既知の値と整合するか？
• RQ5 臨界現象の解析において、マルチポイントパデ法は従来の有限サイズスケーリングと比較して、精度および堅牢性の点で優れているか？

主な発見

• マルチポイントパデ法は、磁化近似式の極として真のリー＝ヤン零点を的確に特定し、すべての安定した極が虚数 $H$ 軸上に位置していることから、円定理が成立していることを確認した。
• 最も近いリー＝ヤン零点の虚部の有限サイズスケーリングから、$\beta\delta = 1.879(16)$ を得ており、正確な値 1.875 と極めて良好に一致している。
• フィッシャー零点の有限サイズスケーリングから、$\nu = 1.014(60)$ および $\beta_c = 0.4405(5)$ を得ており、正確な値と整合し、$T_c$ の自己無撞着な決定が妥当であることを検証した。
• 統計的ノイズの下でも本手法は堅牢であることが示され、有限統計量でも高精度な結果が得られた。これは、QCD ようなより複雑な系への応用可能性を示唆している。
• 臨界指数 $\beta\delta$ は相対誤差約 $0.8\%$ で抽出され、有限サイズスケーリング解析における高い精度を示した。
• 本研究の結果は、マルチポイントパデ法が、格子シミュレーションから臨界指数を抽出するための、競争力があり信頼性の高い代替手法であることを確認した。