[論文レビュー] Exploring the beta-pdf in variable-density turbulent mixing

József Bakosi, J. R. Ristorcelli|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Combustion and flame dynamics被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、大きな密度対比を伴う非混合流体の流れにおける可変密度乱流混合に、ベータ確率密度関数（pdf）アプローチを拡張する。流体密度（アクティブスカラー）のための確率微分方程式（SDE）を定式化し、ベータ分布が二元混合における密度の周辺pdfの現実的で一貫性があり、一般化された表現であることを示している。導出されたモーメント方程式がSDEから得られるものと一致することから、大密度対比下の混合をモデル化するための厳密な理論的枠組みを確立する。

ABSTRACT

In assumed probability density function (pdf) methods of turbulent combustion, the shape of the scalar pdf is assumed a priori and the pdf is parametrized by its moments for which model equations are solved. In non-premixed flows the beta distribution has been a convenient choice to represent the mixture fraction in binary mixtures or a progress variable in combustion. Here the beta-pdf approach is extended to variable-density mixing: mixing between materials that have very large density differences and thus the scalar fields are active. As a consequence, new mixing phenomena arise due to 1) cubic non-linearities in the Navier-Stokes equation, 2) additional non-linearities in the molecular diffusion terms and 3) the appearance of the specific volume as a dynamical variable. The assumed beta-pdf approach is extended to transported pdf methods by giving the associated stochastic differential equation (SDE). The beta distribution is shown to be a realizable, consistent and sufficiently general representation of the marginal pdf of the fluid density, an active scalar, in non-premixed variable-density turbulent mixing. The moment equations derived from mass conservation are compared to the moment equations derived from the governing SDE. This yields a series of relations between the non-stationary coefficients of the SDE and the mixing physics. Our treatment of this problem is general: the mixing is mathematically represented by the divergence of the velocity field which can only be specified once the problem is defined. In this paper we seek to describe a theoretical framework to subsequent applications. We report and document several rigorous mathematical results, necessary for forthcoming work that deals with the applications of the current results to model specification, computation and validation of binary mixing of inert fluids.

研究の動機と目的

• 大密度差を伴う非混合流れにおける可変密度乱流混合をモデル化する理論的枠組みを構築すること。
• 流体密度のための確率微分方程式（SDE）を導出することで、仮定されたベータ-pdfアプローチを輸送pdf法へ拡張すること。
• このような流れにおいて、ベータ分布が密度（アクティブスカラー）の周辺pdfの有効かつ一貫した表現のままであることを保証すること。
• 質量保存則とSDEの両方からモーメント方程式を導出し、物理的保存則と確率的モデルの整合性を確認するとともに、SDEの係数と混合物理の関係を特定すること。
• 慣性二元混合において、将来のモデル仕様化、数値計算、検証のための数学的・厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• 可変密度混合におけるアクティブスカラーとしての流体密度のための確率微分方程式（SDE）を定式化する。
• 境界付きで非対称な分布に適した柔軟性を活かし、流体密度の周辺pdfをパラメータ化するためにベータ分布を採用する。
• 支配方程式（質量保存則）からモーメント方程式を導出し、密度モーメントの時間発展をモデル化する。
• SDEからもモーメント方程式を導出し、物理的保存則と確率的モデリングの間で比較と整合性チェックを可能にする。
• モーメントマッチングを通じて、SDEの非定常係数と混合物理の間の関係を確立する。
• 混合の数学的表現として、各具体的な問題文脈内で定義される速度場発散を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベータ分布は、可変密度乱流混合における流体密度の周辺pdfの整合的で現実的な表現として機能できるか？
• RQ2 質量保存則から導出されたモーメント方程式と、ベータ-pdfモデルのSDE定式化から導出されたモーメント方程式の間にはどのような相違・類似点があるか？
• RQ3 SDEの非定常係数と可変密度流れにおける物理的混合プロセスとの間にどのような関係が存在するか？
• RQ4 ベータ-pdfアプローチは、大密度対比を伴う流れにおける輸送pdf法へ拡張可能か？
• RQ5 数学的および物理的制約は、このような複雑な混合状況下でのベータ-pdfモデルの現実可能性と一般適用性を保証するか？

主な発見

• ベータ分布が、可変密度乱流混合における流体密度の周辺pdfの現実的で一貫した表現であることが示された。
• 質量保存則から導出されたモーメント方程式と、SDEから導出されたモーメント方程式が数学的に同一であることが確認され、モデルの整合性が裏付けられた。
• SDE定式化により、ナビエ＝ストークス方程式の三次項に起因する非線形効果および可変密度流れにおける分子拡散の影響を組み込むことが可能になった。
• SDEの非定常係数と混合物理の間の関係が厳密に導出され、モデルのキャリブレーションが可能になった。
• この枠組みは一般性を有し、速度場発散が指定されれば、いかなる二元混合問題にも適用可能である。
• 理論的結果は、大密度対比下の慣性二元混合における将来のモデル開発、数値計算、検証のための堅固な基盤を提供する。