[論文レビュー] Exploring the Potential of Polynomial Basis Functions in Kolmogorov-Arnold Networks: A Comparative Study of Different Groups of Polynomials

Seyd Teymoor Seydi|arXiv (Cornell University)|May 30, 2024

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、Kolmogorov-Arnold Network (KAN) の入力として18の多項式基底を検討し、それらのMNISTでの性能を評価し、Gottlieb-KANを変種の中で最高のパフォーマーとして特定します。

ABSTRACT

This paper presents a comprehensive survey of 18 distinct polynomials and their potential applications in Kolmogorov-Arnold Network (KAN) models as an alternative to traditional spline-based methods. The polynomials are classified into various groups based on their mathematical properties, such as orthogonal polynomials, hypergeometric polynomials, q-polynomials, Fibonacci-related polynomials, combinatorial polynomials, and number-theoretic polynomials. The study aims to investigate the suitability of these polynomials as basis functions in KAN models for complex tasks like handwritten digit classification on the MNIST dataset. The performance metrics of the KAN models, including overall accuracy, Kappa, and F1 score, are evaluated and compared. The Gottlieb-KAN model achieves the highest performance across all metrics, suggesting its potential as a suitable choice for the given task. However, further analysis and tuning of these polynomials on more complex datasets are necessary to fully understand their capabilities in KAN models. The source code for the implementation of these KAN models is available at https://github.com/seydi1370/Basis_Functions .

研究の動機と目的

• 18個の多項式とそのKAN利用時の性質について構造的な概要を提供する。
• MNISTでこれらの多項式を用いたKANモデルを評価し、性能を評価する。
• モデルの複雑さ（パラメータ）・学習時間・精度の関係を分析し、モデル選択を導く。

提案手法

• 18個の多項式を正交、超幾何、q-多項式、フィボナッチ関連、組合せ、数論的のグループに分類する。
• 各多項式を基底関数としてKolmogorov-Arnoldアーキテクチャ内のKANモデルを構築する。
• MNISTでモデルを学習・評価し、全体精度、Kappa、F1スコアを指標として用いる。
• パフォーマンスを比較し、パラメータ数と学習時間が精度とどのように関連するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MNIST上のKAN基底関数として使用したとき、どの多項式グループが最良の精度、Kappa、F1スコアを提供するか？
• RQ2 パラメータ数によるモデルの複雑さと学習時間が、異なる多項式ベースのKANにおいて性能にどう影響するか？

主な発見

モデル	全体精度	カッパ係数	F1スコア
Fermat-KAN	0.9619	0.9577	0.9619
AlSalam-Carlitz-KAN	0.9675	0.9639	0.9675
BannaiIto-KAN	0.9670	0.9633	0.9670
Boas-Buck-KAN	0.9663	0.9625	0.9663
Boubaker-KAN	0.9731	0.9701	0.9731
Charlier-KAN	0.9726	0.9695	0.9726
Gottlieb-KAN	0.9759	0.9732	0.9759
Heptanacci-KAN	0.9426	0.9362	0.9426
Hexanacci-KAN	0.9641	0.9601	0.9641
Meixner-Pollacze-KAN	0.9703	0.9670	0.9703
Narayana-KAN	0.9723	0.9692	0.9723
Octanacci-KAN	0.9688	0.9653	0.9688
Pado-KAN	0.9653	0.9614	0.9653
Pentanacci-KAN	0.9542	0.9491	0.9542
Tetranacci-KAN	0.9675	0.9639	0.9675
Tribo-KAN	0.9569	0.9521	0.9569
Vieta-Pell-KAN	0.9749	0.9721	0.9749
Askey-Wilson-KAN	0.9693	0.9659	0.9693

• Gottlieb-KANは全体精度0.9759、Kappa0.9732、F1スコア0.9759の最高を達成。
• 他のいくつかの多項式も高い性能を示し、精度は主に0.9542–0.9759の狭い帯に分布。
• Gottlieb-KANはパラメータ数が最大（219,907）で比較的高速な学習時間（923.96 s）を示し、複雑さと性能の部分的な関連を示唆。
• Askey-KANはリストされたモデルの中で最もパラメータ数が少ないが（105,871）最も長い学習時間（2,418.00 s）となり、学習時間はパラメータ数だけでなく他の要因にも影響されることを示唆。
• 研究は、これらの多項式をより複雑なデータセットでチューニングする必要があり、KANモデルにおける能力をより理解するべきだと述べている。
• 将来の作業では、より多くのデータセット、アーキテクチャ、ハイパーパラメータを検討し、モデル選択を情報提供するべきである。