[論文レビュー] Exploring the Use of Shatter for AllSAT Through Ramsey-Type Problems

David E. Narváez|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Constraint Satisfaction and Optimization被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、CNF論理式における対称性打破ツール「Shatter」を、ラマヌジャン型グラフ問題におけるエッジ彩色の完全集合の生成というAllSAT問題の文脈で検討する。2つの主要な問題を特定する：Shatterは変数の緩和によってモデル数を増加させる可能性があり、特定のエッジが単色部分グラフに含まれない場合には彩色集合が不完全になることがある。本研究では、これらの問題を軽減する戦略を提案し、対称性を持つブール論理式におけるAllSATワークフローの完全性と効率性を保証する。

ABSTRACT

In the context of SAT solvers, Shatter is a popular tool for symmetry breaking on CNF formulas. Nevertheless, little has been said about its use in the context of AllSAT problems: problems where we are interested in listing all the models of a Boolean formula. AllSAT has gained much popularity in recent years due to its many applications in domains like model checking, data mining, etc. One example of a particularly transparent application of AllSAT to other fields of computer science is computational Ramsey theory. In this paper we study the effect of incorporating Shatter to the workflow of using Boolean formulas to generate all possible edge colorings of a graph avoiding prescribed monochromatic subgraphs. Generating complete sets of colorings is an important building block in computational Ramsey theory. We identify two drawbacks in the na\"ive use of Shatter to break the symmetries of Boolean formulas encoding Ramsey-type problems for graphs: a "blow-up" in the number of models and the generation of incomplete sets of colorings. The issues presented in this work are not intended to discourage the use of Shatter as a preprocessing tool for AllSAT problems in combinatorial computing but to help researchers properly use this tool by avoiding these potential pitfalls. To this end, we provide strategies and additional tools to cope with the negative effects of using Shatter for AllSAT. While the specific application addressed in this paper is that of Ramsey-type problems, the analysis we carry out applies to many other areas in which highly-symmetrical Boolean formulas arise and we wish to find all of their models.

研究の動機と目的

• 対称性が豊富な組合せ問題におけるAllSATソルバーの前処理ツールとしてShatterを使用する影響を分析すること。
• 2つの主要な欠陥を特定・解説すること：Shatterをラマヌジャン型論理式に適用した際のモデル数の増加と、彩色集合の不完全性。
• 対称性打破前処理を用いた際のAllSAT出力における完全性の維持と冗長性の低減を図るための戦略とツールを提供すること。
• Shatterのデフォルト動作は、グラフラマヌジャン問題における完全で重複のない彩色集合の生成に不適切であることを示すこと。
• 高対称性ドメインにおけるAllSATワークローフの対称性打破ツール（例：Shatter）の適切な適用方法を研究者にガイドすること。

提案手法

• F ↛ (G, H) という非矢印性を表すCNF論理式にShatterを適用し、FがグラフでG, Hがターゲット部分グラフである場合を対象とする。
• Shatterの変数緩和（自由変数を⊥に固定する）が、AllSAT出力におけるモデル数と完全性に与える影響を分析する。
• 不完全性の十分条件を提示：G もしくは H から F への部分グラフ同型写像の像に含まれないエッジは、自由変数となり、Shatterにより⊥に固定されることで有効な彩色が失われる。
• 関連する部分グラフ同型写像に参加するエッジにのみ変数を制限する修正された論理式を提案し、完全性の向上を図る。
• Kex（K8から1つの頂点の次数を2に低下させたグラフ）を反例として用い、自由変数が存在しない場合でも不完全性が生じ得ることを示す。
• claspのプロジェクティブな列挙機能が、対称性の存在下での重複モデルの削減に有効であるかを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Shatterの対称性打破前処理は、AllSAT問題における満たされる割り当て数にどのように影響するか？
• RQ2 Shatterがラマヌジャン型問題において、エッジ彩色の不完全な集合を生じる条件は何か？
• RQ3 単色部分グラフ同型写像に参加するエッジにのみ変数集合を制限することで、不完全性の問題を回避できるか？
• RQ4 元の論理式に自由変数が存在しない場合でも、なぜ不完全性が継続するのか？
• RQ5 AllSATワークフローにおいて、対称性打破ツールを活用しつつ完全性を保つための代替戦略は何か？

主な発見

• Shatterは自由変数を⊥に緩和するため、AllSAT出力におけるモデル数が増加し、新たな重複解が導入される。
• G もしくは H から F への部分グラフ同型写像に含まれないエッジは、元の論理式で自由変数となり、Shatterにより⊥に固定されるため、有効な彩色が失われる。
• 不完全性の十分条件を同定：エッジ e が G もしくは H から F への任意の部分グラフ同型写像の像に含まれない場合、e を ⊤ に割り当てる彩色はShatter前処理後に失われる。
• 自由変数が存在しない場合でも不完全性は生じ得る—Kexを用いた例で、90個の同型クラスのうち26個の有効な彩色がShatterによって見逃されることが示された。
• claspのプロジェクティブな列挙機能は、重複モデルの削減に有効であり、モデルの爆発問題に対して部分的な解決策を提供する。
• 本稿は、Shatterを完全で重複のない彩色集合の生成に用いるには、慎重な後処理が必要であり、非緩和的対称性打破を提供する代替ツール（例：BreakID）がより適していると結論づける。