[論文レビュー] Explosion and distances in scale-free percolation

Remco van der Hofstad, Júlia Komjáthy|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、頂点が同分布のパワーロー法分布に従い、エッジが重みと逆距離に依存して形成される $ℤ^d$ 上のスケールフリーパーコレーションにおける重み付き距離を研究する。爆発（有限時間内に無限個の頂点に到達）が発生するのは、エッジ重み分布が無限平均パワーロー法の産出をもたらす爆発的ブランンチング過程を生成する場合に限る。非爆発的エッジの場合、パラメータ $ olimits\gamma = \alpha(\tau-1)/d$ を用いて、最初の到達時間および距離の漸近的成長を特徴づけ、$ olimits\gamma$ に応じて対数的または二重対数的スケーリングが生じることを示す。

ABSTRACT

We investigate the weighted scale-free percolation (SFPW) model on $\mathbb Z^d$. In the SFPW model, the vertices of $\mathbb Z^d$ are assigned i.i.d. weights $(W_x)_{x\in \mathbb Z^d}$, following a power-law distribution with tail exponent $τ>1$. Conditioned on the collection of weights, the edges $(x,y)_{x, y \in \mathbb Z^d}$ are present independently with probability that a Poisson random variable with parameter $λW_x W_y/(\|x-y\|)^α$ is at least one, for some $α, λ>0$, and where $\|\cdot \|$ denotes the Euclidean distance. After the graph is constructed this way, we assign independent and identically distributed (i.i.d.) random edge lengths from distribution $L$ to all existing edges in the graph. The focus of the paper is to determine when is the obtained model \emph{explosive}, that is, when it is possible to reach infinitely many vertices in finite time from a vertex. We show that explosion happens precisely for those edge length distributions that produce explosive branching processes with infinite mean power law offspring distributions. For non-explosive edge-length distributions, when $γ\in (1,2)$, we characterise the asymptotic behaviour of the time it takes to reach the first vertex that is graph distance $n$ away. For $γ>2$, we show that the number of vertices reachable by time $t$ from the origin grows at most exponentially, thus explosion is never possible. For the non-explosive edge-length distributions, when $γ\in (1,2)$, we further determine the first order asymptotics of distances when $γ\in (1,2)$. As a corollary we obtain a sharp upper and lower bound for graph distances, closing a gap between a lower and upper bound on graph distances in Deijfen Hofstad `13 when $γ\in(1,2), τ>2$.

研究の動機と目的

• 重み付きスケールフリーパーコレーションモデルが、有限時間内に無限個の頂点に到達する（爆発する）条件を特定すること。
• 非爆発的領域における最初の到達時間およびグラフ距離の漸近的挙動を特徴づけること。
• パラメータ $ olimits\gamma \in (1,2), \tau > 2$ の領域におけるグラフ距離の鋭い境界について未解決の問題を解消すること。
• 空間的モデルにおける爆発と、重篩な産出をもつ爆発的ブランンチング過程との間の関係を確立すること。

提案手法

• 指数 $\tau > 1$ のパワーロー法分布に従う同分布の頂点重みを用いてネットワークをモデル化する。
• 頂点重みと距離の逆数の $\alpha > 0$ 乗に依存するポアソンベースのメカニズムによりエッジの存在を定義する。
• すべての存在するエッジに分布 $L$ に従う独立同分布のエッジ重みを割り当て、伝搬時間をモデル化する。
• 最短経路を追跡し、重み付きグラフの構造を調査するために、修正された幅優先探索プロセスを用いる。
• カップリングの議論と帰納法を用いて、探索プロセスを独立同分布のエッジ重みを持つブランンチング過程に関連付ける。
• 爆発および距離の挙動を分類するために、臨界パラメータ $ olimits\gamma = \alpha(\tau-1)/d$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ重み分布がどのような条件下で、モデルが爆発（有限時間内に無限個の頂点に到達可能）を示すか？
• RQ2 エッジ重み分布が非爆発的で、$\gamma \in (1,2)$ のとき、グラフ距離 $n$ の頂点への最初の到達時間の漸近的挙動は何か？
• RQ3 非爆発的領域において、典型的なグラフ距離はどのようにスケーリングするか？また、$\gamma \in (1,2), \tau > 2$ の領域において、鋭い上界および下界を確立できるか？
• RQ4 空間的モデルにおける爆発的領域は、配置モデルのような平均場モデルにおける爆発的構成と、なぜ根本的に異なるのか？

主な発見

• 爆発は、エッジ重み分布が無限平均パワーロー法産出をもつ爆発的ブランンチング過程を生成する場合に限り、モデルで発生する。
• 非爆発的エッジ重み分布および $\gamma = \alpha(\tau-1)/d \in (1,2)$ のとき、グラフ距離 $n$ の頂点への最初の到達時間は、漸近的に $\log \log n$ のオーダーで成長する。
• $\gamma > 2$ のとき、原点から時間 $t$ までに到達可能な頂点数は、指数関数的以上に成長するため、爆発は不可能である。
• $\gamma \in (1,2)$ かつ非爆発的エッジ重みのとき、本稿はグラフ距離に関する鋭い上界および下界を確立し、[28]における未解決問題を解決する。
• 爆発的領域では、無限個の頂点と $\mathbb{Z}^d$ のコンact性の欠如のため、距離の特徴づけが困難である。これは、平均場モデルとは異なり、距離が2つの爆発時間の和に収束しないことと対応する。
• 本稿は、空間的モデルと配置モデルの根本的な違いを特定する：後者では典型的な距離が2つの爆発時間の和に収束するが、空間的モデルでは幾何的制約および無限頂点集合のため、この性質は成立しない。