[論文レビュー] Exponential Convergence in $L^p$-Wasserstein Distance for Diffusion Processes without Uniformly Dissipative Drift

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非一様に発散する勾配項をもつ拡散過程に対して、反射によるカップリングと無限遠において凸である補助関数を用いて、$L^p$-ウォッサーシュタイン距離における指数的収束を確立する。主な結果として、区分的発散性条件を満たす勾配項に対して、半群が指数的速さ $e^{-\lambda t/p}$ で収束することを示し、従来の $L^1$-ウォッサーシュタイン距離に限局した結果を改善する。

ABSTRACT

By adopting the coupling by reflection and choosing an auxiliary function which is convex near infinity, we establish the exponential convergence of diffusion semigroups $(P_t)_{t\ge0}$ with respect to the standard $L^p$-Wasserstein distance for all $p\in[1,\infty)$. In particular, we show that for the Itô stochastic differential equation $$\d X_t=\d B_t+b(X_t)\,\d t,$$ if the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in\R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} K_1|x-y|^2,& |x-y|\le L; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> L \end{cases}$$ holds with some positive constants $K_1$, $K_2$ and $L>0$, then there is a constant $λ:=λ(K_1,K_2,L)>0$ such that for all $p\in[1,\infty)$, $t>0$ and $x,y\in\R^d$, $$W_p(δ_x P_t,δ_y P_t)\leq Ce^{-λt/p} \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & \mbox{if } |x-y|\le 1; |x-y|, & \mbox{if } |x-y|> 1. \end{cases}$$ where $C:=C(K_1,K_2,L,p)$ is a positive constant. This improves the main result in \cite{Eberle} where the exponential convergence is only proved for the $L^1$-Wasserstein distance.

研究の動機と目的

• 勾配項が一様に発散しない場合の拡散半群の $L^p$-ウォッサーシュタイン距離における指数的収束を確立すること。
• 従来の $L^1$-ウォッサーシュタイン距離に限局した結果を、すべての $p \in [1, \infty)$ に拡張すること。
• 非一様発散性に対処するため、反射によるカップリングと凸補助関数を用いたフレームワークを構築すること。
• 収束速度を勾配の局所的および大域的発散性の性質に基づいて特徴付けること。
• 導かれた収束条件のもとで不変測度の存在と一意性を示すこと。

提案手法

• 時間とともに収縮するカップリング過程を構築するため、反射によるカップリングを用いる。
• 大偏差における勾配の振る舞いを制御するため、無限遠で凸である補助関数を導入する。
• カップリングを用いて、遷移核 $\delta_x P_t$ と $\delta_y P_t$ 間の $L^p$-ウォッサーシュタイン距離を評価する。
• 伊藤の公式とカップリング過程の生成作用素を用いて、ウォッサーシュタイン距離に関する微分不等式を導出する。
• 補助関数を用いたラプラシアン型の議論により、指数的減衰を確立する。
• $W_p$ における収縮性を用いて、エルゴード性および不変測度の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様に発散する勾配項をもつ拡散過程に対して、$L^p$-ウォッサーシュタイン距離における指数的収束を確立できるか？
• RQ2 勾配 $b$ にどのような条件を課すれば、すべての $p \in [1, \infty)$ に対して指数的 $L^p$-ウォッサーシュタイン収束が成立するか？
• RQ3 反射によるカップリング法は、一様に発散する勾配項を超えて、どのようにしてこのような収束を達成できるか？
• RQ4 収束速度を勾配の局所的および大域的発散性定数の観点から定量的に記述できるか？
• RQ5 $L^p$-ウォッサーシュタイン収束と不変測度の存在との関係は何か？

主な発見

• SDE $\mathrm{d}X_t = \mathrm{d}B_t + b(X_t)\,\mathrm{d}t$ に対して、勾配が定数 $K_1, K_2, L > 0$ をもつ区分的発散性条件を満たすならば、すべての $p \in [1, \infty)$ に対して $L^p$-ウォッサーシュタイン距離における指数的収束が成立する。
• 収束速度は $W_p(\delta_x P_t, \delta_y P_t) \leq C e^{-\lambda t/p} \cdot \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & |x-y| \leq 1 \\ |x-y|, & |x-y| > 1 \end{cases}$ で与えられ、$\lambda = \lambda(K_1, K_2, L) > 0$ である。
• 定数 $C$ は $K_1, K_2, L$ および $p$ に依存し、すべての $p \in [1, \infty)$ に対して有限である。
• 従来の結果を改善し、指数的収束を $L^1$ からすべての $L^p$-ウォッサーシュタイン距離に拡張した。
• $W_1$ における収縮性を用いて、不変確率測度 $\mu$ の存在と一意性が確立された。
• 導かれた収束性は、不変測度に対してピカール不等式を示し、スペクトルギャップの性質を裏付けた。