[論文レビュー] Exponential decay of correlations in the two-dimensional random field Ising model at zero temperature

Jian Ding, Jiaming Xia|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元の無作為磁場イジング模型（RFIM）において、零温度で独立同分布のガウス的不純度を有する場合、境界条件の影響が局所磁化に与える効果が指数関数的に減衰することを確立している。著者らは、階層的分解とガウス過程の条件付き分布を用いた、新しいパーコレーションに基づく議論を展開し、プラスおよびマイナスの境界条件の下で原点における不一致の確率が、系のサイズNに従って指数関数的に減少することを証明した。これは、弱い不純度領域における減衰率に関する長年の論争を解決するものである。

ABSTRACT

We study random field Ising model on $\mathbb Z^2$ where the external field is given by i.i.d.\ Gaussian variables with mean zero and positive variance. We show that at zero temperature the effect of boundary conditions on the magnetization in a finite box decays exponentially in the distance to the boundary.

研究の動機と目的

• 2次元無作為磁場イジング模型（RFIM）において、零温度下で弱い不純度のもとで境界条件の影響が指数的か多項式的かという、長年の論争を解消すること。
• 2次元RFIMにおいて、任意に弱いガウス的不純度のもとで、指数的減衰を初めて厳密に証明すること。
• パーコレーションに基づく不一致集合の解析とガウス場の階層的条件付き分布に依拠する、新しい解析的枠組みを構築すること。

提案手法

• プラスおよびマイナスの境界条件の下で地面状態が異なるサイトからなる不一致集合 $\mathcal{C}^{\Lambda_N}$ を導入する。
• 系をサイズ $8^n$ の二進ボックスに階層的に分解し、不一致の伝播を分析する。
• ガウス過程の変則測度変換技術を用いて、マクロな場の平均に条件づけ、尾確率を制御する。
• ガウス過程の条件付き独立性と区間推定に基づく再帰的議論を用いて、原点における不一致の確率を評価する。
• 大きなボックス内で不一致集合がボックスと交差するような事象がまれであることを示すパーコレーション条件を確立する。
• 格子動物の議論を用いて、原点が不一致集合に属するためには、このようなまれな事象の大きな連結成分が存在する必要があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元無作為磁場イジング模型（RFIM）において、零温度下で任意に弱いガウス的不純度を有する場合、境界条件が局所磁化に与える影響は指数関数的に減衰するか？
• RQ2 物理学の文献で議論されている多項式的減衰ではなく、指数的減衰であることが証明可能か？
• RQ3 弱いクエンチ不純度の下で指数的減衰を説明する、厳密な確率的メカニズムは存在するか？

主な発見

• 原点のスピンがプラスおよびマイナスの境界条件の下で異なる確率は、系のサイズNに従って指数関数的に減少する：$\mathbb{P}(\sigma^{\Lambda_N,+}_o \neq \sigma^{\Lambda_N,-}_o) \leq c_\varepsilon^{-1} e^{-c_\varepsilon N}$ であり、$c_\varepsilon > 0$ は不純度の分散 $\varepsilon^2$ に依存する。
• 証明により、不一致集合 $\mathcal{C}^{\Lambda_N}$ には長いジオデシック路が存在しないことが示された：$\mathcal{C}^{\Lambda_N}$ 内で $\partial\Lambda_{N/4}$ と $\partial\Lambda_{N/2}$ の間のグラフ距離が、高確率で $N^\alpha$ を超える、ある $\alpha > 1$ に対して成立する。
• サイズ $8^n$ の二進ボックス上で階層的パーコレーション議論を構築することにより、減衰率が少なくとも指数的であることが示された。このとき、原点における不一致の確率は、$N$ が十分に大きい場合、$C N^{-3}$ で上から抑えられる。
• この手法は、ガウス場に対する新しい条件付き分布技術に依拠しており、場をマクロな平均と平均ゼロの揺らぎに分解することで、精密な尾確率推定が可能になった。
• 結果として、イムリ＝マ現象が、零温度下の弱い不純度極限においても指数的減衰を引き起こすことが確認された。これは、一部の物理的議論が多項式的減衰を示唆しているのとは対照的である。