[論文レビュー] Exponential ergodicity of semilinear equations driven by Lévy processes in Hilbert spaces

Anna Chonowska-Michalik, Beniamin Gołdys|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間におけるレヴィノイズで駆動される非線形確率偏微分方程式に対して指数的エルゴドゥーシティを確立し、遷移確率が全 Variation 範囲で不変測度に指数的収束することを証明する。この手法は、強いフィラー性および再帰性の性質を、コンパクト半群とモーメントバウンドと組み合わせるものであり、従来の結果を、対称 $\alpha$-安定および特異的ウィーナー過程を含む一般のレヴィノイズへと拡張する。

ABSTRACT

We study convergence to the invariant measure for a class of semilinear stochastic evolution equations driven by Lévy noise, including the case of cylindrical noise. For a certain class of equations we prove the exponential rate of convergence in the norm of total variation. Our general result is applied to a number of specific equations driven by cylindrical symmetric $α$-stable noise and/or cylindrical Wiener noise. We also consider the case of a "singular" Wiener process with unbounded covariance operator. In particular, in the equation with diagonal pure $α$-stable cylindrical noise introduced by Priola and Zabczyk we generalize results in [12]. In the proof we use an idea of Maslowski and Seidler from [10].

研究の動機と目的

• ヒルバート空間におけるレヴィノイズで駆動される非線形SPDEの遷移確率が全 Variation 範囲で不変測度に指数的収束することを確立すること。
• 従来のウィーナーノイズに限らない、一般のレヴィ過程（特に対称 $\alpha$-安定および特異的ウィーナー過程）へのエルゴドゥーシティ結果の拡張。
• SPDEの遷移測度が一意な不変測度に指数的に速く収束するための十分条件を提供すること。
• 特に [12] および [15] における $\alpha$-安定ノイズに関する先行結果を強化し、収束速度をより高める。

提案手法

• 生成作用素 $A$ が $C_0$-半群を生成し、リプシッツ連続なドリフト $F$ を持つ非線形SPDEの枠組みを用いる。
• マスロフスキーとセイドルの手法 [10] を適用し、強いフィラー性および再帰性を用いて指数的エルゴドゥーシティを確立する。
• レヴィ過程 $Z_t = ta + Q^{1/2}W_t + Y_t$ に対して、積分可能性およびモーメントバウンドを保証する条件を課す。
• 解 $X_t^x$ に対して、グロンウォール型推移を用い、$S_t$ のコンパクト性および $F$ の有界性を用いてモーメントバウンドを確立する。
• $S_1$ のコンパクト性およびモーメントバウンドを用いて、家族 $\{\mu_t^0\}_{t \geq 1}$ のタイトネスを確立し、不変測度の存在を保証する。
• 定理 12.1 [6] を適用して指数的収束を証明し、コンパクト球上で $x \mapsto \mu_T^x(K)$ の弱連続性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レヴィノイズで駆動される非線形SPDEの解が、全 Variation 範囲で不変測度に指数的収束するための条件は何か？
• RQ2 ウィーナーノイズから一般のレヴィノイズ（特に対称 $\alpha$-安定および特異的ウィーナー過程）への指数的エルゴドゥーシティ結果の拡張は可能か？
• RQ3 強いフィラー性および再帰性の性質が、半群のコンパクト性とどのように作用して指数的収束を保証するか？
• RQ4 $\alpha$-安定ノイズに対して、[12] および [15] の先行結果よりも収束速度を強化できるか？

主な発見

• 指数的安定性、コンパクト性、強いフィラー性、および遷移半群の再帰性の仮定のもとで、全 Variation 範囲での不変測度への指数的収束が確立される。
• 収束速度は指数的であり、与えられた条件下で全 Variation 距離が $\|\mu_t^x - \mu\|_{TV} \leq C e^{-\kappa t}$（$\kappa > 0$）と推定される。
• 対称 $\alpha$-安定なシリンダーノイズに対して、[12] や [15] の先行結果を強化し、より鋭い収束速度が得られる。
• 本手法は、非有界共分散作用素を持つ混合対称 $\alpha$-安定ノイズと特異的ウィーナー過程を伴う確率的熱方程式に適用可能である。
• $\{\mu_t^0\}_{t \geq 1}$ のタイトネスをモーメントバウンドおよび $S_1$ のコンパクト性に依存して、不変測度の存在が証明される。
• $x \mapsto \mu_T^x(K)$ の弱コンパクト集合上での弱連続性が確立され、[6] の定理 12.1 の適用が可能となり、指数的エルゴドゥーシティが結論づけられる。