[論文レビュー] Exponential estimates for plurisubharmonic functions and stochastic dynamics

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên+1 more|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、ホルダー連続なポテンシャルを持つマソン＝アームペール測度に関して、多重シュバルツ関数の指数的推定を確立し、複素射影空間上の正則力学系における均衡測度に対して、相関の指数的減衰、中心極限定理、大偏差定理といった強い確率的性質の証明を可能にする。主な貢献は、複素力学系と確率的極限定理を複素ポテンシャル論を介して結ぶ一般枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We prove exponential estimates for plurisubharmonic functions with respect to Monge-Ampere measures with Holder continuous potential. As an application, we obtain several stochastic properties for the equilibrium measures associated to holomorphic maps on projective spaces. More precisely, we prove the exponential decay of correlations, the central limit theorem for general d.s.h. observables, and the large deviations theorem for bounded d.s.h. observables and Holder continuous observables.

研究の動機と目的

• ホルダー連続なポテンシャルを持つ測度に関して、多重シュバルツ関数の指数的可積分性推定を確立すること。
• これらの推定を複素射影空間上の正則写像の均衡測度に応用すること。
• 複素変数の複数の力学系において、相関の指数的減衰、中心極限定理、大偏差定理を証明すること。
• 複素力学系における一般のd.s.h.およびホルダー連続観測量に対する確率的極限定理を拡張すること。
• 複素ポテンシャル論と正則力学系における確率的性質を結ぶ一般枠組みを提供すること。

提案手法

• S が局所的 moderate な正の閉じたカレントで、u が S-多重シュバルツ関数である Hölder 連続関数であるならば、dd^c(uS) が局所的 moderate であることを証明すること。
• マソン＝アームペール測度に関して e^{-\alpha\psi} の指数的可積分性を用いて、力学系の推定を導出すること。
• ベネットの不等式とチェインジングの議論を用いて、観測量のバーグホフ和の尾部挙動を制御すること。
• 反復移動作用素の作用素のモーメント条件の下で、一般化された抽象的大偏差定理を確立すること。
• $ \mathbb{P}^k $ 内のグリーンカレント T に対してホルダー連続ポテンシャルの存在を活用し、グリーン測度 $ \mu = T^k $ を定義し、その確率的性質を分析すること。
• カレント上の引き戻し作用 f^* と、d^{-n}(f^n)^*\omega_{\rm FS} \to T の収束を用いて不変測度を構成し、その混合性を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素力学系において、ホルダー連続なポテンシャルを持つマソン＝アームペール測度に関して、多重シュバルツ関数に対する指数的推定を確立できるか？
• RQ2 複素射影空間 $ \mathbb{P}^k $ 上の正則写像の均衡測度は、一般のd.s.h.観測量に対して相関の指数的減衰を示すか？
• RQ3 複素射影空間 $ \mathbb{P}^k $ 上の正則自己準同型の均衡測度のもとで、d.s.h.観測量に対して中心極限定理が成立するか？
• RQ4 有界なd.s.h.およびホルダー連続観測量に対する大偏差定理は、複素力学系において証明可能か？
• RQ5 カレントおよび測度の局所的 moderate 性が、複素力学系における確率的極限定理の確立において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、u がホルダー連続な p.s.h. 関数であるならば、マソン＝アームペールカレント (dd^c u)^p が局所的 moderate であることを証明し、指数関数の可積分性を保証する。
• 複素射影空間 $ \mathbb{P}^k $ 上の正則写像に対して、グリーン測度 $ \mu = T^k $ は、d.s.h. 観測量に対して相関の指数的減衰を満たす。
• 与えられた力学的仮定のもとで、均衡測度 $ \mu $ に関して、すべての d.s.h. 観測量に対して中心極限定理が成立する。
• 有界な d.s.h. およびホルダー連続観測量に対して、大偏差定理が確立され、そのレートは $ e^{-n(\log n)^{-2}h_\epsilon} $ のオーダーである。
• 結果は1次元の場合にも拡張可能であり、その設定ですでに新しい結果であり、これまでに知られていたものよりも強い減衰率を提供する。
• 移動作用素の随伴作用素のモーメント条件の下で、抽象的大偏差定理を証明し、動的設定を一般化する。