[論文レビュー] Exponential estimates of symplectic slow manifolds

Kristian Uldall Kristiansen, Claudia Wulff|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解析的ハミルトニアン系において、有限個の遅い自由度と無限個の速い自由度を持つ系に対して、シンプレクティック版マケイの反復法を用いて、指数的に正確なシンプレクティックな遅い多様体の存在を確立する。主な結果は、正規的双曲性や共鳴条件を要件としないまま、摂動パラメータ $\epsilon$ に対して指数的に小さい誤差を持つことである。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of an almost invariant symplectic slow manifold for analytic Hamiltonian slow-fast systems with finitely many slow degrees of freedom for which the error field is exponentially small. We allow for infinitely many fast degrees of freedom. The method we use is motivated by a paper of MacKay from 2004. The method does not notice resonances, and therefore we do not pose any restrictions on the motion normal to the slow manifold other than it being fast and analytic. We also present a stability result and obtain a generalization of a result of Gelfreich and Lerman on an invariant slow manifold to (finitely) many fast degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 有限個の遅い自由度と無限個の速い自由度をもつ解析的ハミルトニアン系に対して、ほぼ不変なシンプレクティックな遅い多様体の存在を確立すること。
• 正規的双曲性や共鳴条件に対する制限を排除し、PDE を含む一般の速い力学系に適用可能にすること。
• ゲルフリッヒとレルマンによる不変な遅い多様体に関する結果を、有限個の速い自由度をもつ系へ一般化すること。
• 構築されたシンプレクティックな遅い多様体の安定性に関する結果を提供すること。
• マケイの反復法がシンプレクティック系に適用可能であることを厳密に検証し、双曲性に依存しない指数的収束を示すこと。

提案手法

• 遅い多様体の改善のためのマケイの反復法をシンプレクティックな設定に適応し、変換がシンプレクティック構造を保存することを保証する。
• 生成関数とシンプレクティック変換を用いて、ハミルトニアン構造を保ちながら反復的に遅い多様体の近似を補正する。
• 反復的補正のサイズと誤差項の大きさを制御するための反復補題を適用し、収束を保証する。
• 複素領域における主要級級数と解析的推定を用いて、非線形項の成長を抑え、収束を保証する。
• $\delta_n$, $\xi_n$, および $\epsilon$ を含む反復的境界を用いて誤差場の減衰を課し、指数的減衰を導く。
• 無限次元の速い部分系を扱うために複素解析的技法を用い、それを半線形発展PDEとみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の遅い自由度と無限個の速い自由度をもつ解析的ハミルトニアン系に対して、指数的に正確なシンプレクティックな遅い多様体を構成できるか？
• RQ2 遅い多様体の改善のためのマケイの反復法は、ハミルトニアン系に適用した場合にシンプレクティック構造を保存するか？
• RQ3 正規的双曲性や共鳴動的を要件とせず、この方法を適用できるか？
• RQ4 遅い多様体の反復的補正プロセスの収束の定量的レートは何か？
• RQ5 小さなパラメータ $\epsilon$ に対して、遅い多様体近似の誤差はどのように振る舞うか？

主な発見

• 構築された遅い多様体の誤差場は、解析的仮定のもとで $\epsilon$ に対して指数的に小さく、具体的には $\mathcal{O}(e^{-c/\epsilon})$（$c>0$）である。
• この方法は正規的双曲性や共鳴条件を要件としないため、通常の楕円的系にも適用可能である。
• 反復的補正プロセスにより、$\delta_n \leq C \epsilon^{n+1}$ を満たす補正の列 $\delta_n$ が得られ、指数的収束が示される。
• $n$ 回の反復後の遅い多様体近似の誤差は $\mathcal{O}(\epsilon^{n+1})$ で有界であり、極限では指数的精度に達する。
• この方法により、ゲルフリッヒとレルマンの結果を、有限個の速い自由度をもつ系へ一般化した。
• マケイの $\mathcal{O}((\epsilon \|W\|)^n)$ 収束に関する予想が $n>1$ に対して誤りであることを示す反例を提示した。誤差はそのように因数分解されない。