[論文レビュー] Exponential functionals of spectrally one-sided l{\\'e}vy processes conditioned to stay positive

Grégoire Véchambre, Vechambre, Grégoire|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正の状態に留まるように条件づけられたスプライタル・ワンサイド Lévy 过程に対する指数型関数的 $∫_0^{\infty} e^{-X^{\uparrow}(t)}dt$ を研究し、その有限性、自己分解性、指数モーメントの存在、および原点付近における密度の正確な漸近的挙動を確立する。主な貢献は、正則変動と一般化されたガンマ分布変数への接続を通じて、分布の左端の特徴を鋭く特定することにある。

ABSTRACT

We study the properties of the exponential functional $\\int\\_0^{+ \\infty} e^{- X^{\\uparrow} (t)}dt$ where $X^{\\uparrow}$ is a spectrally one-sided L{\\'e}vy process conditioned to stay positive. In particular, we study finiteness, self-decomposability, existence of finite exponential moments, asymptotic tail at $0$ and smoothness of the density.

研究の動機と目的

• スプライタル・ネガティブ Lévy 过程を正の状態に留まるように条件づけた場合の指数型関数的 $I(V^{\uparrow}) = \int_0^{\infty} e^{-V^{\uparrow}(t)}dt$ の分布的性質を分析すること。
• 指数モーメントの有限性および $I(V^{\uparrow})$ の滑らかな密度の存在を保証する条件を確立すること。
• 原点付近における $I(V^{\uparrow})$ の密度の正確な漸近的挙動、特にその正則変動性質を導出すること。
• 因子分解恒等式を用いて $I(V^{\uparrow})$ の左端を $I(H)^{-\alpha}$ の分布および一般化されたガンマ分布変数と関連付けること。
• Lévy 过程の指数型関数的に関する既知の結果を、特に拡散過程が Lévy 環境に存在する応用を想定して、条件づけられた設定へと拡張すること。

提案手法

• $I(V^{\uparrow})$ の自己分解性を用いて、その分布の左端に対する鋭い推定を導出する。
• 参考文献 [16] に由来する因子分解恒等式を適用し、$Y$ がスプライタル・ポジティブで $H$ がスプライタル・ネガティブであるとき、$I(Y)$ の密度を $I(H)$ の密度と関連付ける。
• Mellin 変換および一般化された Weierstrass 積表示を用いて、モーメントおよび尾部挙動を分析する。
• 正則変動理論および単調収束定理を用いて、$x \to 0^+$ のときの密度 $m_Y(x)$ の漸近的極限を導出する。
• ラプラス指数 $\Psi_V(\lambda)$ および三つ組 $(Q, \gamma, \nu)$ を用いて、基礎となる Lévy 过程 $V$ を特徴付ける。
• 参考文献 [16] の補題 2.1(2) に依拠して、密度 $m_Y(x)$ を $m_H(y)$ で表現し、尾部解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプライタル・ネガティブ Lévy 过程を正の状態に留まるように条件づけた場合、指数型関数的 $I(V^{\uparrow}) = \int_0^{\infty} e^{-V^{\uparrow}(t)}dt$ がほとんど確実に有限であるための条件は何か？
• RQ2 原点付近における $I(V^{\uparrow})$ の密度の正確な漸近的挙動は何か？ また、$I(H)^{-\alpha}$ の分布とはどのように関連しているか？
• RQ3 指数モーメント $I(V^{\uparrow})$ はどのようにして存在し、その有限性を保証する条件は何か？
• RQ4 正則変動を用いて $I(V^{\uparrow})$ の左端を特徴づけられるか？ また、一般化されたガンマ分布とはどのように関連するか？
• RQ5 因子分解恒等式は $I(Y)$ を $I(H)$ とどのように結びつけるか？ そして、この恒等式は尾部漸近的挙動の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• 指数型関数的 $I(V^{\uparrow})$ は自己分解的であるため、その左端挙動に対する正確な制御が可能である。
• スプライタル・ポジティブ過程 $Y$ に対して $I(Y)$ の密度 $m_Y(x)$ は、$\lim_{x \to 0^+} \frac{m_Y(x)}{\overline{\pi}(\log(1/x))} = \frac{\mathbb{E}[I(H)^{-\alpha}] \Gamma(\alpha + \kappa_Y)}{\Gamma(\kappa_Y)}$ を満たす。ここで $\overline{\pi}$ は $H$ の Lévy 済みの尾部を表す。
• 指数モーメントの存在は、$\mathbb{E}[I(H)^{-\alpha}] < \infty$ および $\kappa_Y > 0$ の条件下で保証される。
• $I(V^{\uparrow})$ の左端は $-\alpha$-正則変動を示し、極限にはガンマ関数の比および $I(H)$ の負の分数モーメントが関与する。
• 結果として、$\mathbb{E}[I(Y)^{-\alpha}] < \infty$ が成立し、これはスプライタル・ポジティブ過程に対して [6] の定理 3 と整合的である。
• 漸近的同値性は単調収束および $\epsilon$-摂動を含む境界を用いて導出され、最終的に $\epsilon \to 0$ のときの鋭い極限が得られる。