[論文レビュー] EXPONENTIAL INTEGRABILITY IN THE SPIRIT OF MOSER-TRUDINGER'S INEQUALITIES OF FUNCTIONS WITH FINITE NON-LOCAL, NON-CONVEX ENERGY

Arka Mallick, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、差分 |u(x)−u(y)|>δ を含む二重積分によって定義される非局所的で非凸なエネルギーが有限である関数について、指数的可積分性の推定値を確立し、Moser-Trudinger型不等式を非局所的設定に拡張する。p ≥ d に対して、このような関数は L^p 空間において鋭い指数的可積分性を満たし、非局所的エネルギー Iδ,p に依存する境界を持つ。また、指数的重みにおける指数の鋭さを示す極値関数を構成する。

ABSTRACT

Let $d \ge 1$, $p \ge d$, and let $Ω$ be a smooth bounded open subset of $\mathbb{R}^d$. We prove some exponential integrability in the spirit of Moser-Trudinger's inequalities for measurable functions $u$ defined in $Ω$ such that $$ \mathop{\int_Ω \int_Ω}_{|u(x) - u(y)| > δ} \frac{1}{|x-y|^{d+p}} \, dx \, dy < + \infty, $$ for some $δ> 0$. This double integral appeared in characterizations of Sobolev spaces and involved in improvements of the Sobolev inequaliies, Poincaré inequalities, and Hardy inequalities.

研究の動機と目的

• L^p(Ω) 内の関数 u で非局所的エネルギー Iδ,p(u, Ω) が有限であるものについて、古典的なMoser-Trudinger不等式を非局所的かつ非凸的な設定に拡張し、鋭い指数的可積分性推定値を確立すること。
• 非局所的エネルギー Iδ,p(u, Ω) が有限である関数が、John-Nirenberg不等式によって示唆される BMO 型の制御よりも優れた可積分性を示すかどうかを調査すること。
• 特に p ≥ d の場合に、このような関数の指数的可積分性における鋭い指数を特定すること。
• 非局所的設定における指数的可積分性結果の鋭さを示すために、極値関数を構成すること。

提案手法

• 非局所的エネルギー Iδ,p(u, Ω) = ∫∫_{|u(x)−u(y)|>δ} δ^p / |x−y|^{d+p} dx dy を定義し、Γ収縮を用いてSobolev空間およびBV空間を特徴付ける。
• Poincaré型不等式 (1.7) と Fefferman-Stein の鋭い関数理論を用いて、振動を制御し、L^p 範囲を導出する。
• 切断法とJohn-Nirenberg不等式を適用して BMO 範囲を制御し、John-Nirenberg の結果を経由して指数的可積分性を導出する。
• 径数関数 u(x) = g(|x|) で g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r) となるものを用いて、∫_B e^{αγg} dx = ∞ であることを示し、指数の鋭さを証明する。
• 極座標と漸近的解析を用いて Iδ,p(u, B) を推定し、Iδ,p が任意に小さくできる一方で指数積分が無限大のまま残ることを示す。
• I1,d(un, B1/e) → 0 だが ∫ e^{αγgn} dx → ∞ となる関数列 un を構成することで、指数の鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配が L^p に属さない場合でも、非局所的エネルギー Iδ,p(u, Ω) が有限である関数について、指数的可積分性を確立できるか？
• RQ2 Iδ,p(u, Ω) < ∞ のもとで ∫_Ω e^{α|u|} dx が有限のままであるような指数 α として、どの程度の鋭い値が得られるか？
• RQ3 指数的可積分性の結果は鋭いか？Iδ,p が非常に小さいが指数積分が無限大であるような関数を構成できるか？
• RQ4 非局所的エネルギー Iδ,p は BMO 範囲をどのように制御し、それによって John-Nirenberg 不等式を経由して指数的可積分性を可能にするのか？

主な発見

• p ≥ d かつ u ∈ L^p(Ω) で Iδ,p(u, Ω) < ∞ ならば、関数 u は指数的可積分性を満たす：ある α > 0 に対して ∫_B e^{α(p/d)|u|} dx ≤ C が成り立ち、C は d と Ω のみに依存する。
• 指数的重みにおける指数 α(p/d) は鋭い：任意の α > 0 に対して、Iδ,p(u, Ω) < ∞ だが ∫_B e^{α|u|} dx = ∞ となる関数 u ∈ L^p(Ω) が存在する。
• 径数プロファイル g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r) を用いた極値関数の構成により、γ > p/d のとき ∫_B e^{αγg} dx = ∞ であることが示され、指数の鋭さが証明される。
• 任意の M > 0 に対して、Iδ,p(u, B1/e) ≤ M だが ∫_B e^{αγg} dx = ∞ となる関数 u が存在し、非局所的エネルギーが指数積分を一様に制御しないことを示す。
• 関数列 un を I1,d(un, B1/e) → 0 だが ∫ e^{αγgn} dx → ∞ となるように構成することで、指数の鋭さが確認される。これにより、境界を改善することは不可能であることが示される。
• 本結果は、古典的なMoser-Trudinger不等式を非局所的かつ非凸なエネルギーに拡張し、鋭い指数的可積分性推定値の新たなクラスを提供する。