[論文レビュー] Exponential Martingales and Time integrals of Brownian Motion

Victor Goodman, Kyounghee Kim|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Girsanovの定理に基づく新しい測度変換技術を用いて、指数型ブラウン運動の時間積分の確率密度および下尾挙動の正確な表現を導出する。主な貢献は、$\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ が $\theta < 2$ である場合に限り有限であることを証明したことである。これは長年のモーメントに関する未解決問題を解消し、アジア・オプションの価格設定に新たな公式を可能にする。

ABSTRACT

We find a simple expression for the probability density of $\int \exp (B_s - s/2) ds$ in terms of its distribution function and the distribution function for the time integral of $\exp (B_s + s/2)$. The relation is obtained with a change of measure argument where expectations over events determined by the time integral are replaced by expectations over the entire probability space. We develop precise information concerning the lower tail probabilities for these random variables as well as for time integrals of geometric Brownian motion with arbitrary constant drift. In particular, $E[ \exp\big(θ/ \int \exp (B_s)ds\big) ]$ is finite iff $θ&lt; 2$. We present a new formula for the price of an Asian call option.

研究の動機と目的

• 時間積分 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$、すなわち指数マーティンググールの時間積分の正確な分布的性質を導出すること。
• 一般の $\theta$ に対して、$\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ のモーメントの有限性を解明すること。
• 導出された分布的関係を用いて、アジア・コール・オプションの価格を表す新しい公式を構築すること。
• 任意のドリフトを有する $A_t$ 及び関連時間積分の分布に対する鋭い下尾推定を確立すること。

提案手法

• 時間変換付きブラウン運動 $\tilde{B}_t = B_t - 2\log(1 - \frac{y}{2}A_t)$ を用いたGirsanov型変換による測度変更を適用し、爆発時刻 $\tau_\infty$ まで有効である。
• プロセス $R_t = -\frac{M_t}{y^{-1} - \frac{1}{2}A_t}$ は、SDE $dR_t = R_t dB_t - \frac{1}{2}R_t^2 dt$ を満たし、マーティンググール解析が可能になる。
• 特異性を扱うために停止時刻 $\tau_n$ が導入され、$[0, \tau_n]$ 上でGirsanov密度がマーティンググールのままであることを保証する。
• 期待値の関数的表現が新たな測度 $Q$ の下で変換され、密度および尾確率の計算が可能になる。
• 関係式 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{\theta}{\int_0^t \exp(B_s)\,ds}\right)\right] < \infty$ が $\theta = 2$ と同値であるという鍵となる恒等式が、$\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ の分布との比較により導出される。
• 関数 $\mathbb{E}[(A_t - a)^+}$ を $M_t$ および $A_t$ を含む期待値で表現することで、アジア・コール・オプション価格の新しい公式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\theta$ の値に対して $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ が有限か？
• RQ2 $\int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ の分布と $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ の分布との正確な関係は何か？
• RQ3 幾何ブラウン運動の時間積分を用いて、アジア・コール・オプションの価格について、新たな閉形式の表現を導出可能か？
• RQ4 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ の分布に対する鋭い下尾推定は何か？

主な発見

• $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ は $\theta < 2$ である場合に限り有限である。
• $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ の分布には、その累積分布関数と $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ の累積分布関数を用いて表現可能な正確な密度関数が存在する。
• $A_t$ の下尾は任意の多項式より速く減少し、測度変更技術により鋭い推定が得られている。
• アジア・コール・オプション価格の新しい公式が導出された：$\mathbb{E}[(A_t - a)^+] = t - a + a^2 \mathbb{E}\left[(a + A_t)^{-1} \exp\left(\frac{2M_t}{a + A_t} - \frac{2}{a}\right)\right]$。
• $\frac{M_t}{A_t}$ のモーメント母関数がスーパーマーティンググールであることが示され、$\theta < 2$ のときの可積分性が確立された。
• この結果は任意のドリフトおよび分散に拡張可能である：$\sigma^2 \int_0^t \exp(\sigma B_s)\,ds$ に対し、適切な時間スケーリングを施すと、同じ有限性条件 $\theta < 2$ が成り立つ。