[論文レビュー] Exponential mixing under controllability conditions for SDEs driven by a degenerate Poisson noise

Vahagn Nersesyan, Renaud Raquépas|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、弱い散逸性および可制御性条件の下で、退化した複合ポアソンノイズによって駆動される確率微分方程式（SDEs）に対して、指数的混合性および不変測度の一意性を確立する。著者らは、ホルムァン条件よりも弱い、新たな「固体的可制御性」条件を導入し、半群の全変動距離における指数的収束を証明する。これは、無限次元およびネットワーク系における非ガウス型で退化したノイズへと結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of the invariant measure and exponential mixing in the total-variation norm for a class of stochastic differential equations driven by degenerate compound Poisson processes. In addition to mild assumptions on the distribution of the jumps for the driving process, the hypotheses for our main result are that the corresponding control system is dissipative, approximately controllable and solidly controllable. The solid controllability assumption is weaker than the well-known parabolic H\"ormander condition and is only required from a single point to which the system is approximately controllable. Our analysis applies to Galerkin projections of stochastically forced parabolic partial differential equations with asymptotically polynomial nonlinearities and to networks of quasi-harmonic oscillators connected to different Poissonian baths.

研究の動機と目的

• 退化した複合ポアソンノイズによって駆動されるSDEに対して、指数的混合性および不変測度の一意性を確立すること。
• 標準的なホルムァン条件を弱めるために、単一の点からのみ適用可能な新しい「固体的可制御性」仮定を導入すること。
• ガウス型でないノイズおよびフルランク拡散を越えたエルゴード性の結果を、非マルコフ型でジャンプ駆動の系へと拡張すること。
• 確率的駆動のパラボリックPDEのガラーキン近似および準調和振動子のネットワークにこの枠組みを適用すること。
• 非コンパクト状態空間においても有効な、カップリングに基づく証明戦略を提示すること。その際、散逸性および可制御性を用いる。

提案手法

• 最大カップリングおよび遷移時間の推定に基づくカップリング論法を用い、全変動距離を評価する。
• 「固体的可制御性」の概念を導入：コンパクトな制御集合が、摂動下で非退化球を含む像を持つこと。
• 付録Aの到達時間に関する指数的推定を用いて、混合速度を制御する。
• 散逸性（C1）の下で、ノルムの二乗 ∥x∥² をリャプノフ関数候補として用い、パスワイズ安定性を保証する。
• マコフ半群 (P∗t) 及び確率測度への作用を用いて、不変測度への収束を証明する。
• 測度論的道具（補題C.2）を用いて、正則写像下で像測度が正の密度を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルムァン条件がグローバルに成立しない場合、退化したポアソンノイズを有するSDEに対して指数的混合性を確立できるか？
• RQ2 フルランク拡散が存在しない状況で、指数的混合性を保証するより弱い可制御性条件は何か？
• RQ3 散逸性と単一の点からの局所的可制御性の組み合わせが、どのようにグローバルなエルゴード性をもたらすか？
• RQ4 カップリング法は、非コンパクト空間における非ガウス型でジャンプ駆動のSDEへと適応可能か？
• RQ5 この枠組みは、ポアソン型の熱バスタを有する確率的PDEおよび振動子ネットワークにどのような意味を持つか？

主な発見

• 条件（C1）〜（C3）の下で、SDEはℝd 上のボレル確率測度の空間に唯一の不変測度 µinv を有する。
• 半群 (P∗t) は全変動ノルムにおいて指数的に µinv へ収束する：すべての t ≥ 0 に対して ∥P∗tµ − µinv∥var ≤ C e−ct (1 + ∫∥x∥µ(dx)) が成り立つ。
• 固体的可制御性条件（C3）は、放物型ホルムァン条件よりも厳密に弱く、点 ˆx からのみ適用可能である。
• ランク(B) < d、すなわち退化したジャンプノイズの場合でも、ジャンプ分布の弱いモーメントおよび密度の仮定の下で結果は成り立つ。
• この枠組みは、漸近的に多項式的非線形性を有する確率的駆動のパラボリックPDEのガラーキン近似に適用可能である。
• この手法は、独立なポアソン型熱バスタに結合された準調和振動子のネットワークへも拡張可能であり、このような系において指数的混合性を確立する。