[論文レビュー] Exponential quantum speed-ups are generic

Fernando G. S. L. Brandão, Michał Horodecki|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、指数的量子高速化が一般に成立することを示している：ほとんどすべての長い量子回路は、ブラックボックス問題を定数回の量子クエリで解けるが、古典的計算でさえも（後選択を許しても）指数的に多くのクエリを必要とする。この結果は、ランダムな線形サイズの量子回路が近似的なユニタリ3デザインを形成することを示すことに依存しており、これはアーロンソンによる構成を介して、指数的量子古典クエリ複雑度のギャップを生じさせる。

ABSTRACT

A central problem in quantum computation is to understand which quantum circuits are useful for exponential speed-ups over classical computation. We address this question in the setting of query complexity and show that for almost any sufficiently long quantum circuit one can construct a black-box problem which is solved by the circuit with a constant number of quantum queries, but which requires exponentially many classical queries, even if the classical machine has the ability to postselect. We prove the result in two steps. In the first, we show that almost any element of an approximate unitary 3-design is useful to solve a certain black-box problem efficiently. The problem is based on a recent oracle construction of Aaronson and gives an exponential separation between quantum and classical post-selected bounded-error query complexities. In the second step, which may be of independent interest, we prove that linear-sized random quantum circuits give an approximate unitary 3-design. The key ingredient in the proof is a technique from quantum many-body theory to lower bound the spectral gap of local quantum Hamiltonians.

研究の動機と目的

• クエリ複雑度モデルにおいて、量子回路が古典的計算よりも指数的高速化を達成できる条件を特定すること。
• このような高速化が、通常の量子回路においてまれなものか、それとも一般的なものかを調査すること。
• ランダムな量子回路と近似的ユニタリ3デザインとの間の関係を確立し、指数的高速化への道筋を示すこと。
• 線形サイズのランダム量子回路が近似的ユニタリ3デザインを生成することを証明し、困難なブラックボックス問題の構築を可能とすること。

提案手法

• アーロンソンによる最近のオракル構成を活用し、有界誤差クエリ複雑度において指数的量子古典ギャップを示すブラックボックス問題を定義すること。
• 近似的ユニタリ3デザインの任意の要素が、定数回の量子クエリでこのブラックボックス問題を効率的に解けることを示すこと。
• 量子多体理論の技術を用いて、線形サイズのランダム量子回路が近似的ユニタリ3デザインを形成することを証明すること。
• 局所量子ハミルトニアンのスペクトルギャップを評価し、ランダム回路が近似的3デザインに収束することを確立すること。
• スペクトルギャップの下界を用いて、典型的なランダム回路が指数的高速化に必要なデザイン特性を達成することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな量子回路において、指数的量子高速化はまれなものか、それとも一般的なものか？
• RQ2 ほとんどすべての十分に長い量子回路が、定数回の量子クエリでブラックボックス問題を解けるか？
• RQ3 ランダムな量子回路と近似的ユニタリtデザインとの間にはどのような関係があるか？
• RQ4 定数回の量子クエリで解ける問題について、後選択の能力が古典的クエリ複雑度ギャップを著しく縮小するか？
• RQ5 局所ハミルトニアンのスペクトルギャップ解析を用いて、ランダム量子回路におけるユニタリデザインへの収束を証明できるか？

主な発見

• 十分に長い量子回路のほとんどすべてが、特定のブラックボックス問題に対して指数的量子高速化を可能にする。
• 近似的ユニタリ3デザインの任意の要素は、定数回の量子クエリでブラックボックス問題を解ける。
• 線形サイズのランダム量子回路は近似的ユニタリ3デザインを形成し、このような回路の一般性を確立する。
• 同じ問題について、古典的クエリ複雑度は、後選択を許しても依然として指数的のままである。
• 量子多体理論の技術を用いて、局所量子ハミルトニアンのスペクトルギャップを評価し、3デザイン性の証明を可能とした。
• この結果は、指数的高速化が特別に設計された回路に限定されるのではなく、ランダムで一般的な量子回路においても一般的に成立することを示している。