[論文レビュー] Exponential Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming with Applications to Quantum Learning

Fernando G. S. L. Brandão, Amir Kalev+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Machine Learning and Algorithms被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、量子状態入力と低ランクハミルトニアンサンプリングを活用することで、古典的手法よりも指数的高速化を達成する半定値計画法（SDP）の量子アルゴリズムを提示する。これにより、√m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) 個の量子ゲートで、測定データと整合する量子状態の学習が効率的に行える。主な技術的進展は、低ランクハミルトニアンに対する多項式対数的スケーリングの量子ギブス状態サンプラーである。

ABSTRACT

We give semidefinite program (SDP) quantum solvers with an exponential speed-up over classical ones. Specifically, we consider SDP instances with $m$ constraint matrices of dimension $n$, each of rank at most $r$, and assume that the input matrices of the SDP are given as quantum states (after a suitable normalization). Then we show there is a quantum algorithm that solves the SDP feasibility problem with accuracy $\epsilon$ by using $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ quantum gates. The dependence on $n$ provides an exponential improvement over the work of Brand\~ao and Svore and the work of van Apeldoorn et al., and demonstrates an exponential quantum speed-up when $m$ and $r$ are small. We apply the SDP solver to the problem of learning a good description of a quantum state with respect to a set of measurements: Given $m$ measurements and a supply of copies of an unknown state $ ho$, we show we can find in time $\sqrt{m}\log m\cdot ext{poly}(\log n,r,\epsilon^{-1})$ a description of the state as a quantum circuit preparing a density matrix which has the same expectation values as $ ho$ on the $m$ measurements up to error $\epsilon$. The density matrix obtained is an approximation to the maximum entropy state consistent with the measurement data considered in Jaynes' principle. As in previous work, we obtain our algorithm by quantizing classical SDP solvers based on the matrix multiplicative weight update method. One of our main technical contributions is a quantum Gibbs state sampler for low-rank Hamiltonians with a poly-logarithmic dependence on its dimension based on the techniques developed in quantum principal component analysis, which could be of independent interest.

研究の動機と目的

• 古典的手法と比較して指数的高速化を達成する量子アルゴリズムを開発し、半定値計画法（SDP）の可解性問題を解くこと。
• 測定データと整合する最大エントロピー状態を近似することで、m回の測定から量子状態の記述を効率的に学習すること。
• 量子技術を用いて制約行列の次元nに対する依存関係を多項式から多項式対数的へと削減すること。
• 次元nに依存しない多項式対数的スケーリングを実現する低ランクハミルトニアンのための量子ギブス状態サンプラーを設計すること。

提案手法

• 量子状態入力とアモニチュード増幅を用いて、古典的行列乗法的重み更新法を量子フレームワークに適応する。
• 量子主成分分析（QPCA）技術に基づく量子ギブス状態サンプラーを用いて、低ランクハミルトニアンの熱的状態を効率的に準備する。
• アモニチュード推定と量子特異値変換を用いて、測定演算子の期待値を高精度に推定する。
• m個の制約、nが行列次元、rが最大ランクであるとき、時間 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) で動作する量子SDPソルバーを構築する。
• 量子SDPソルバーを状態学習プロトコルに統合し、測定結果をεの誤差内で再現する密度行列を生成する量子回路を再構築する。
• 低ランク構造と量子線形代数プリミティブを活用することで、ゲート数にnの多項式対数的依存関係を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力行列が量子状態として与えられた場合、量子アルゴリズムがSDP可解性問題において古典的手法よりも指数的高速化を達成できるか？
• RQ2 未知の状態のコピーが利用可能であると仮定した場合、m回の測定結果と整合する量子状態の最適な量子複雑度は何か？
• RQ3 次元nに多項式対数的依存関係を持つ低ランクハミルトニアンのための量子ギブス状態サンプラーを構築できるか？
• RQ4 量子SDPソルバーのスケーリングは、制約数m、行列次元n、制約行列のランクrにどのように依存するか？
• RQ5 量子SDPソルバーを用いて、測定制約下での最大エントロピー状態をどの程度まで近似できるか？

主な発見

• 量子SDPソルバーは、ゲート複雑度 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) を達成し、従来の古典的および量子的手法と比較してnに関して指数的高速化を実現する。
• アルゴリズムは、nが大きくなっても、行列次元nに関して多項式対数的依存関係を有するため、精度εでSDP可解性問題を解くことができる。
• QPCA技術に基づき、nに依存しない多項式対数的スケーリング（poly(log n)）で動作する低ランクハミルトニアンのための量子ギブス状態サンプラーが開発された。
• m回の測定から、時間 √m log m · poly(log n, r, ε⁻¹) で量子状態の記述を学習でき、誤差ε内で最大エントロピー状態と一致する。
• mとrが小さい場合、nが大きくてもnのスケーリングが有利であるため、指数的量子高速化が実現される。
• 量子SDPソルバーは量子状態学習に応用され、測定結果の期待値をεの誤差内で再現する密度行列を生成する。