[論文レビュー] Exponential rate of L_p-convergence of intrinsic martingales in supercritical branching random walks

Gerold Alsmeyer, Alexander Iksanov+2 more|ArXiv.org|Mar 23, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、超臨界的分岐ランダムウォークにおける内因的マルティンググール $W_n$ とそのほとんど確実な極限 $W$ に対して、級数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ の $L_p$-収束に関する必要十分条件を確立する。主な結果は、子孫分布のモーメント条件と生成関数 $m(r)$ のスペクトル半径を用いて、$p$ とパrameter $a > 0$ に依存する鋭い基準により、$L_p$-収束の指数的レートを同定することである。解析は、マルティンググールの不等式、モーメント推定、およびバーグホルダー型の議論による $L_p$-ノルムの凸性に依拠している。

ABSTRACT

Let $W_n, n\in\mn_{0}$ be an intrinsic martingale with almost sure limit $W$ in a supercritical branching random walk. We provide criteria for the $L_p$-convergence of the series $\sum_{n\ge 0} e^{an}(W-W_n)$ for $p>1$ and $a>0$. The result may be viewed as a statement about the exponential rate of convergence of $\me |W-W_n|^p$ to zero.

研究の動機と目的

• 超臨界的分岐ランダムウォークにおける内因的マルティンググール $W_n$ がその極限 $W$ に $L_p$-収束する指数的レートを特定すること。
• $p > 1$ および $a > 0$ に対して、級数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ のほとんど確実収束および $L_p$-収束の必要十分条件を導出すること。
• 初期重み分布のモーメント母関数 $m(r)$ を用いて、$\mathbb{E}|W - W_n|^p$ の減衰レートを特徴づけること。
• スペクトル半径 $m^{1/r}(r)$ と初期重み分布の $p$-次のモーメントを含む鋭い基準を確立すること。

提案手法

• 重み付き分岐過程における第 $n$ 世代の総重量を表す $Z_n$ を用いて、内因的マルティンググール $W_n = Z_n / m^n(1)$ を定義すること。
• バーグホルダーの不等式とモーメント推定を用いて、条件付き分散および $L_2$-ノルムを介して $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ を制御すること。
• 第 $n$ 世代の個体ごとに重み付けた $L_v^2(W_1(v) - 1)^2$ の和として、増分 $W_{n+1} - W_n$ を分解すること。
• $p \geq 2$ のとき $x \mapsto x^{p/2}$ の凸性と超加法性を用いて、$\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ の下界を導出すること。
• 命題 1.1 および補題 3.5 を適用して、$m^n(p)$ と $m^n(2)$ に依存する $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$ を $m(p)$ と $m^{p/2}(2)$ の相対的サイズに応じて評価すること。
• Minkowski の不等式を $L_{p/2}$ に適用して、級数 $\widehat{A}$ の $L_p$-ノルムを制御し、問題を $e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ の和分可能性に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > 1$ および $a > 0$ のとき、級数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ が $L_p$ で収束する条件は何か？
• RQ2 超臨界的分岐ランダムウォークにおいて、$\mathbb{E}|W - W_n|^p$ がゼロに減衰する指数的レートは何か？
• RQ3 初期重み分布の $p$-次モーメントと関数 $m(r)$ は、マルティンググール増分の収束挙動にどのように影響するか？
• RQ4 $p > 2$ のとき、$e^a m^{1/p}(p) < 1$ が $L_p$-収束に必要かつ十分であるか？
• RQ5 $m(p)$ と $m^{p/2}(2)$ の相対的サイズは、収束基準を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $p > 2$ のとき、級数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ の $L_p$-収束は、$\mathbb{E}W_1^p < \infty$ かつ $e^a m^{1/p}(p) < 1$ である場合にかつその場合にのみ成立する。$m(p) \geq m^{p/2}(2)$ のとき、$e^a m^{1/2}(2) < 1$ は必要となる。
• $p = 2$ のとき、$L_2$-収束は $e^a m^{1/2}(2) < 1$ である場合にかつその場合にのみ成立し、これは $e^{2a} m(2) < 1$ と同値である。
• $p > \vartheta$ のとき、$s_n(2)$ と $m^n(p)$ の比較により、$e^a m^{1/p}(p) < 1$ の必要性が確認される。ここで $s_n(2)$ は増分の2次モーメントである。
• $p \geq 2$ のとき、$L_p$-収束のための必要条件として $e^{ap} m(p) < 1$ が得られ、これはジェンセンの不等式と $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ のモーメントバウンドから導出される。
• 十分条件の正しさは、$\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$ のバウンドと $x \mapsto x^{p/2}$ の凸性を用いて、$e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p = O(q^n)$（$q < 1$）を示すことにより証明される。
• ケース1（$m(p) < m^{p/2}(2)$）では、$\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(m^n(p))$ であるため、$q = e^{ap} m^{p/2}(2)$ で収束が保証される。ケース2（$m(p) \geq m^{p/2}(2)$）では、$\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(n^c m^n(p))$ であるため、$\delta > 1$ で1に近い値をとる $\delta$ を用いて $q = \delta e^{pa} m(p)$ で収束が保証される。