[論文レビュー] Exponential relaxation of the Nosé-Hoover equation under Brownian heating

David P. Herzog|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動的加熱下におけるノーゼ＝フーバー thermostat に対して、重み付き全 Variation 距離における幾何的エルゴード性を示すために、新規のリャプノフ関数を用いて、平衡分布への指数的収束を確立している。この手法により、一般のポテンシャル（多項式型およびレナード＝ジョーンズ型を含む）を有する系において、カノニカルなボルツマン＝ギブズ分布からの高速サンプリングが保証される。これは分子動力学シミュレーション分野における主要な未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

We study a stochastic perturbation of the Nosé-Hoover equation (called the Nosé-Hoover equation under Brownian heating) and show that the dynamics converges at a geometric rate to the augmented Gibbs measure in a weighted total variation distance. The joint marginal distribution of the position and momentum of the particles in turn converges exponentially fast in a similar sense to the canonical Boltzmann-Gibbs distribution. The result applies to a general number of particles interacting through wide class of potential functions, including the usual polynomial type as well as the singular Lennard-Jones variety.

研究の動機と目的

• 分子動力学におけるブラウン運動的加熱下におけるノーゼ＝フーバー thermostat の収束速度に関する未解決問題を解消すること。
• 重み付き全 Variation 距離における、拡張されたギブス測度への確率的力学系の幾何的エルゴード性を確立すること。
• 多様なポテンシャルに対して、位置・運動量の連合分布がカノニカルなボルツマン＝ギブズ測度へ指数的に収束することを示すこと。
• 数値的検証を超えて、高次元におけるサンプリングへの NHB システムの使用のための厳密な解析的基盤を提供すること。
• 摂動に基づくリャプノフ関数手法を用いて、特異的および多項式的ポテンシャル（レナード＝ジョーンズ相互作用を含む）への収束結果を拡張すること。

提案手法

• コンpakto への帰還時間の指数的モーメントを保証する明示的なリャプノフ関数を構築する。
• SDE システムの長期的挙動を分析するため、[24, 5, 15] の摂動法を適用する。
• 収束の測定に重み付き全 Variation 距離を用い、エネルギー増大を反映する重み関数を組み込む。
• チャープマン＝コルモゴロフ方程式およびFubini-Tonelli定理を用いて、離散時間の収束を連続時間へ拡張する。
• マコフ遷移核の強いフェラー性および再帰性を確立し、一意性と収束を保証する。
• thermostat 変数を統合することで、位置・運動量の周辺分布がカノニカル測度へ指数的に収束することを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動的加熱下におけるノーゼ＝フーバー方程式は、指数的レートで平衡状態へ収束するか？
• RQ2 特異的ポテンシャル（例：レナード＝ジョーンズ型）を含む一般のポテンシャル関数に対しても、収束速度を厳密に確立できるか？
• RQ3 thermostat 変数の導入は、系のエルゴード的性質および収束速度にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非定常ノイズおよび制御変数を有する状況において、幾何的エルゴード性を示すために明示的なリャプノフ関数を構築可能か？
• RQ5 重み付き全 Variation ノルムにおいて、位置・運動量の連合分布がカノニカルなボルツマン＝ギブズ測度へ指数的に収束するか？

主な発見

• ブラウン運動的加熱下におけるノーゼ＝フーバー方程式の力学系は、重み付き全 Variation 距離において、拡張されたギブス測度へ指数的に収束する。
• 位置と運動量の周辺分布は、同じメトリクスにおいて、カノニカルなボルツマン＝ギブズ分布へ指数的に収束する。
• 収束レートは幾何的であり、正の定数 η > 0 によって定まる指数的減衰率を有する。
• この結果は、定義 2.1 で定義される多項式型およびレナード＝ジョーンズ相互作用を含む広範な正規ポテンシャルのクラスに対して成り立つ。
• コンパクト集合への帰還時間の指数的モーメントを保証するリャプノフ関数の構築に依拠している。
• 不変測度の一意性および強いフェラー性が確立されており、[11] のエルゴード定理の適用が可能となる。