[論文レビュー] Exponential Relaxation to Equilibrium for a One-Dimensional Focusing Non-Linear Schrödinger Equation with Noise

Eric A. Carlen, Juerg Froehlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ p < 6 $ である1次元の焦点的非線形シュレーディンガー方程式に対して、一般化されたグランドカノニカルおよびカノニカルなギブス測度を構築し、不変測度を保存するオルンシュタイン＝ウーレンバックノイズ摂動の下で平衡状態への指数的収束を証明する。主な結果は、有限次元近似なしに、ノイズによって定まる温度および化学ポテンシャルに従って、系の状態がギブス測度へ指数的に収束することである。

ABSTRACT

We construct generalized grand-canonical- and canonical Gibbs measures for a Hamiltonian system described in terms of a complex scalar field that is defined on a circle and satisfies a nonlinear Schrödinger equation with a focusing nonlinearity of order $p&lt;6$. Key properties of these Gibbs measures, in particular absence of "phase transitions" and regularity properties of field samples, are established. We then study a time evolution of this system given by the Hamiltonian evolution perturbed by a stochastic noise term that mimics effects of coupling the system to a heat bath at some fixed temperature. The noise is of Ornstein-Uhlenbeck type for the Fourier modes of the field, with the strength of the noise decaying to zero, as the frequency of the mode tends to $\infty$. We prove exponential approach of the state of the system to a grand-canonical Gibbs measure at a temperature and "chemical potential" determined by the stochastic noise term.

研究の動機と目的

• 1次元焦点的非線形シュレーディンガー方程式に対して、形式的ギブス測度の非可積分性に起因する欠落を補う、一般化されたグランドカノニカルおよびカノニカルなギブス測度を厳密に構築すること。
• 逆温度 $ \beta $ および化学ポテンシャル $ \nu $ の変動下において、グランドカノニカル集合において相転移が存在しないこと、および場のサンプルの正則性を確立すること。
• フーリエモード上にオルンシュタイン＝ウーレンバックノイズを導入した確率的時間発展を導入し、高周波数で減衰するように設計することで、ギブス測度を保存すること。
• この確率的ダイナミクスの下で、有限次元近似や切断なしに、系の状態が不変なギブス測度へ指数的に収束することを証明すること。
• 熱的ノイズを伴う無限次元系における緩和の研究の基盤を築くこと。有限次元モデルの結果を拡張する。

提案手法

• $ L^2 $-ノルムの保存および $ \nu > 0 $ である焦点的非線形項を活用し、変分的アプローチと関数積分を用いてグランドカノニカルおよびカノニカルなギブス測度を構築する。
• 複素スカラー場 $ \theta $ 上の確率的微分方程式（SDE）を用いた確率的量子化スキームを実装し、$ \frac{1}{2} \text{Tr}(\rho^2 P_\theta) $ を駆動ノイズとする。ここで $ P_\theta $ は $ \theta $ に直交する射影である。
• 高周波数で減衰するノイズ項 $ \rho $ を用い、$ \rho^2 C^{-1} \to 0 $（$ |\text{mode}| \to \frown $ のとき）となるように設計することで、ノイズがトレースクラスであり、$ H^1(\tau^1) $ においてSDEが適切に定義されることを保証する。
• $ L^2 $-ノルムの保存と不変測度がカノニカルなものとなるように、補正されたドリフト項 $ b(\theta) = -\frac{1}{2} \rho^2 P_\theta \nabla H + J \nabla H(\theta) $ を導入する。
• 伊藤の補題を用いて、補正されたSDEの下でノルム $ \norm{\theta}_2^2 $ が一定に保たれることを示し、$ L^2 $-ノルムの等高線が保存されることを示す。
• $(\rho^2 C^{-1})$ および $ \text{Tr}(\rho^2) $ の推定を用いて、ポテンシャルエネルギーの指数関数の可積分性を確立し、ギブス測度の正規化定数の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項の指数 $ p < 6 $ である1次元焦点的非線形シュレーディンガー方程式に対して、ハミルトニアンの非有界性を考慮しても、一般化されたグランドカノニカルおよびカノニカルなギブス測度を厳密に構築可能か？
• RQ2 フーリエモード上にオルンシュタイン＝ウーレンバックノイズを導入した確率的ダイナミクスは、不変なギブス測度への指数的収束をもたらすか？
• RQ3 ノイズの強度および高周波数での減衰に関するどのような条件が、ギブス測度の存在・正則性およびダイナミクスの収束を保証するか？
• RQ4 逆温度 $ \beta $ および化学ポテンシャル $ \nu $ の変動下において、グランドカノニカル測度に相転移が存在しないか？
• RQ5 有限次元切断なしに、$ L^2 $-ノルムを保存しつつ、平衡状態への指数的収束を保証する確率的ダイナミクスは可能か？

主な発見

• すべての $ \nu > 0 $、$ \beta > 0 $、$ p < 6 $ に対して、一般化されたグランドカノニカルなギブス測度が存在し、場のサンプルは $ H^1(\tau^1) $ に属し、測度はホルダー連続関数の上に台を持つ。
• カノニカルなギブス測度は $ L^2 $-ノルムへの条件付けによって構築され、補正されたドリフト項を有する確率的SDEはノルムを保存し、測度を不変に保つ。
• ノイズ $ \rho $ が $ \rho^2 C^{-1} \to 0 $ および $ \text{Tr}(\rho^2) < \frown $ を満たす場合、グランドカノニカルなギブス測度への指数的収束が証明され、収束速度は系のサイズに依存しない。
• $ \rho^2 C^{-1} $ の可積分性および高周波数における $ \rho^2 $ の減衰が、$ \rho^2 C^{-1} \to 0 $ を保証し、正規化積分の収束に不可欠である。
• 逆温度 $ \beta $ および化学ポテンシャル $ \nu $ の変動下において、グランドカノニカル測度に相転移が存在しないことが確立された。これはノイズの正則化効果およびポテンシャルの構造による。
• 技術的推定 $ \text{Tr}(\rho^2 C^{-1}) \to 0 $ および高周波数における $ (\rho^2 C^{-1}) \rho^2 \to 0 $ により、$ \rho^2 C^{-1} \rho^2 $ がトレースクラスであることが保証され、$ e^{-\tau U} $ の可積分性の証明が可能になる。