[論文レビュー] Exponential Stability and Initial Value Problems for Evolutionary Equations

Sascha Trostorff|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 56被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、指数的重み付き時間空間を備えたヒルベルト空間設定において、発展方程式の指数的安定性および初期値問題を統一的枠組みで分析する手法を確立する。演算子和 ∂tM + A を H̺(R; H) 上の閉かつ稠密定義された作用素とみなすことにより、時間微分 ∂0,̺ のスペクトル論を用いて連続的可逆性（すなわち適切に定式化されていること）を証明し、放物型および双曲型方程式に対する指数的安定性の基準を導出する。

ABSTRACT

In this thesis we consider so-called linear evolutionary problems, a class of linear partial differential equations covering classical elliptic, parabolic and hyperbolic equations from mathematical physics as well as classes of integro-differenital equations, fractional differential equations and delay equations. We address the well-posedness of the problems in a pure Hilbert space setting. Moreover, the exponential stability and the regularity of the problems are studied. In particular, a Hille-Yosida type result is proved, to obtain a strongly continuous semigroup on a suitable state space consisting of admissible initial values and pre-histories. The results are illustrated by various examples.

研究の動機と目的

• 指数的重み付き L2 空間における形 (∂tM + A)u = f の線形発展方程式の適切に定式化された枠組みを構築すること。
• H̺(R; H) における演算子 ∂tM + A の連続的可逆性を用いて、解の指数的安定性を特徴付けること。
• 拡張空間と許容可能な初期値を用いて、発展問題の初期条件を扱うこと。
• 遅延および積分微分方程式（微分代数系を含む）への理論の拡張。
• 半群理論に依存せずに、最大正則性および安定性に対するスペクトル的アプローチを提供すること。

提案手法

• 重み e−2̺t を持つ指数的重み付き L2 関数のヒルベルト空間 H̺(R; H) において発展問題を定式化する。
• C∞c(R; H) 上の微分の閉包として定義される時間微分 ∂t を ∂0,̺ と表記し、これはフーリエ＝ラプラス変換によるスペクトル表現を持つ正規作用素である。
• 材料法則 M を作用素値関数 M(∂0,̺) として表現し、方程式を (∂0,̺M(∂0,̺) + A)u = f の形に再定式化する。
• H̺(R; H) 内で ∂0,̺M(∂0,̺) + A の全単射性および有界逆作用素の存在を証明することで適切に定式化されていることを確立する。
• スペクトル定理およびフーリエ＝ラプラス変換を用いて、解のリゾルベントおよび安定性特性を分析する。
• 2階問題に理論を適用し、強制的推移性推移とスペクトル局在化を用いて指数的安定性の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H̺(R; H) 上で演算子 ∂0,̺M(∂0,̺) + A が連続的可逆であるための条件は何か。これにより適切に定式化されていることが保証される。
• RQ2 演算子 ∂0,̺M(∂0,̺) + A のスペクトル的性質を用いて、発展方程式の解の指数的安定性をどのように特徴づけられるか。
• RQ3 拡張空間は、発展問題における許容可能な初期値を定義する上で果たす役割は何か。
• RQ4 この枠組みは遅延項および積分微分項を含む方程式にどのように拡張できるか。
• RQ5 理論は微分代数系および2階問題に適用可能か。その場合、どのような安定性条件が導かれるか。

主な発見

• 演算子 ∂0,̺ が H̺(R; H) 上で正規的かつ稠密に定義され、連続的可逆であるための必要十分条件は ̺ ≠ 0 である。
• 発展方程式 (∂tM + A)u = f の適切に定式化されていることは、H̺(R; H) 内で ∂0,̺M(∂0,̺) + A が連続的可逆であることと同値である。
• 2階問題に対しては、強制的推移性推移とスペクトル局在化を用いて指数的安定性を確立し、一様な減衰率を導出する。
• 放物型方程式では、材料法則 M に対する厳密な正定値性条件が満たされれば指数的安定性が成立する。
• 双曲型方程式では、A および M のスペクトル的性質を含むより強い強制的推移性条件が指数的安定性を保証する。
• 許容可能な初期値は拡張空間を用いて特徴づけられ、非滑らかな初期データを含む発展方程式の文脈においても、厳密な取り扱いが可能になる。