[論文レビュー] Exponential stability of a PI plus reset integrator controller by a sampled-data system approach

Miguel A. Davó, Frédéric Gouaisbaut+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、PI+RI（比例積分＋リセット積分器）コントローラを用いた時遅延リセット制御系の指数的安定性を分析するためのサンプリングデータシステムアプローチを提案する。リセット積分器をサンプリングデータフレームワーク内に再定式化することにより、ラプノフ＝クリェロフスキー汎関数におけるジャンプ条件を回避し、指数的安定性を保証するLMIベースの条件を導出できる。これは、ベースシステムが不安定であっても安定性を確保でき、リセット間隔に明示的な上限を設けることで、減衰率を保証するものである。

ABSTRACT

The paper deals with the stability analysis of time-delay reset control systems, for which the resetting law is assumed to satisfy a time-dependent condition. A stability analysis of the closed-loop system is performed based on an appropriate sampled-data system. New linear matrix inequality (LMI) conditions are proposed to ensure the exponential stability of the closed-loop resulting of the connection of a plant with a proportional and integral controller together with a reset integrator (PI+RI).

研究の動機と目的

• 時遅延リセット制御系にPI+RIコントローラを適用した場合の安定性解析の不足を解消すること。
• PI+RIコントローラのラプノフ＝クリェロフスキー解析において、非最小実現およびフロー条件の困難さに起因する課題を克服すること。
• リセット制御系をサンプリングデータシステムに変換する枠組みを構築し、連続的なラプノフ汎関数を実現し、ジャンプ条件を回避すること。
• 所定の減衰率を満たす指数的安定性を保証する明示的なLMIベースの条件を提供すること。
• 従来の漸近的安定性結果を、所定のリセット間隔の定量的境界を伴う指数的安定性へと拡張すること。

提案手法

• リセット積分器をサンプリングデータシステムとして再定式化し、最小実現および連続的な状態軌道を達成すること。
• 時刻依存のラプノフ汎関数とループ関数を組み合わせて、サンプリングデータシステムを分析すること。
• リセット瞬間を制限する時間依存のリセット則を導入し、$\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$ を満たすようにすること。
• サンプリングデータ構造を有する時遅延系に特化したラプノフ＝クリェロフスキー汎関数を構築すること。
• 所定期間の減衰率 $\alpha$ を満たす指数的安定性を保証する線形行列不等式（LMI）条件を導出すること。
• 既存のサンプリングデータ安定性結果の拡張を活用し、PI+RIコントローラの二重積分器構造を扱うために、新規のLKFを組み合わせること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプリングデータシステム定式化を用いることで、PI+RIコントローラを備えた時遅延リセット制御系の指数的安定性を保証できるか？
• RQ2 リセット動作による安定なベースシステムの不安定化リスクを、タイミング制約によってどのように軽減できるか？
• RQ3 所定期間の減衰率を満たすために必要な最小および最大リセット間隔の境界（$\mathcal{T}_m$, $\mathcal{T}_M$）は何か？
• RQ4 リセット比および時遅延の選択が、不安定なベースシステムにおける許容可能なリセット周期にどのように影響を与えるか？
• RQ5 提案手法のLMIベースの条件は、安定および不安定なベースシステムの両方に対して、指数的収束を保証して適用可能か？

主な発見

• 時遅延 $h=1$ の安定なベースシステムにおいて、リセット間隔が $\mathcal{T}_m \geq 0.94$ および $\mathcal{T}_M = 1$ で制限されれば、指数的安定性が達成され、減衰率 $\alpha = 10^{-6}$ を達成する。
• ベースシステムが不安定な場合でも、適切な境界を設けることで $\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$ を満たすことで、リセット制御系の指数的安定性が達成可能であることが、例題4.2で示された。
• 指数的安定性に必要な最小 $\mathcal{T}_m$ は、$M$（1区間あたりのサンプリング点数）が増加するに従い減少するが、$M=2$ を超えると改善の余地は小さくなる。
• 例題4.2において、減衰率 $\alpha$ は短いリセット周期 $T$ に伴い増加し、$\mathcal{T}_m = 0.01\mathcal{T}_M$ であれば、制御可能な減衰率で安定動作が可能である。
• サンプリングデータ再定式化により連続的なラプノフ汎関数を確保することで、ジャンプ条件を効果的に回避し、安定性解析を有効に可能にした。
• 導出されたLMI条件は、漸近的安定性および指数的安定性の両方に対して有効であり、後者では減衰率の定量的保証が得られる。