[論文レビュー] Exponential Stability of Subspaces for Quantum Stochastic Master Equations

Tristan Benoist, Clément Pellegrini+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 70被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、量子確率的マスター方程式（SME）に対して、標的部分空間のほとんど確実な不変性および全局的漸近的安定性が、その平均（決定的）力学のそれらと同値であることを確立する。平均力学に対して厳密な線形リャプノフ関数の存在を証明し、リャプノフ指数の鋭い上限を導出する。特に、測定のバックアクションを組み込むことで、平均の安定性率を固定したまま、ほとんど確実な安定性率を著しく向上させることができ、その値を任意に大きくすることすら可能であることを示している。

ABSTRACT

We study the stability of quantum pure states and, more generally, subspaces for stochastic dynamics that describe continuously--monitored systems. We show that the target subspace is almost surely invariant if and only if it is invariant for the average evolution, and that the same equivalence holds for the global asymptotic stability. Moreover, we prove that a strict linear Lyapunov function for the average evolution always exists, and latter can be used to derive sharp bounds on the Lyapunov exponents of the associated semigroup. Nonetheless, we also show that taking into account the measurements can lead to an improved bound on stability rate for the stochastic, non-averaged dynamics. We discuss explicit examples where the almost sure stability rate can be made arbitrary large while the average one stays constant.

研究の動機と目的

• 標的量子部分空間が確率的マスター方程式（SME）力学のもとで不変であり、全空間的に漸近的に安定である条件を厳密に特徴づけること。
• 決定的力学における安定性と確率的SMEパスにおけるほとんど確実な安定性との関係を明確にすること。
• 測定のバックアクションが、平均力学によって予測される値を超えて、ほとんど確実な収束速度を向上させ得るかを調査すること。
• 平均および確率的SME力学の両者に対するリャプノフ指数の鋭い上限を導出すること。
• 平均の安定性率が一定のまま、ほとんど確実な安定性率を任意に大きくできる具体的な例を構築すること。

提案手法

• 連続的な測定をモデル化する、拡散（ウィーナー）過程およびジャンプ（ポアソン）過程を含む一般クラスの量子確率的マスター方程式（SME）を分析する。有限次元量子系を対象とする。
• 平均力学をSMEの期待値として定義し、Lindblad型生成子Lに従うものとし、その半群的性質を検討する。
• 状態ρが標的部分空間HSからどれほど離れているかを、直交補空間HRへの射影を通じて測る、トレースノルムに基づくリャプノフ関数V(ρ) = ||ρR||₁を導入する。
• 平均力学に対して厳密な線形リャプノフ関数が存在することを証明し、これにより指数的安定性が得られ、平均のリャプノフ指数α₀の鋭い上限が導出される。
• 平均力学（Lおよび部分空間不変性）を保ちつつ、確率的力学を変更する、新しい拡散的測定チャネルC_{n+1} = ℓS P_S + ℓR P_Rを導入する。
• 伊藤の補題およびマルティンゲールの議論を用いて、リャプノフ関数のほとんど確実な収束速度を分析し、パラメータRe²(ℓS − ℓR)を介して指数α₁をα₀とは独立に調整可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標的部分空間HSが確率的SMEのもとでほとんど確実に不変となる条件は何か？ これは平均力学（決定的）における不変性とどのように関係するか？
• RQ2 SMEのほとんど確実な収束速度（リャプノフ指数α₁）は、平均収束速度（α₀）を超えることができるか？ もしそうなら、どの程度まで向上できるか？
• RQ3 平均SMEに対して、平均リャプノフ指数の鋭い上限を与える厳密な線形リャプノフ関数が存在するか？
• RQ4 測定のバックアクションを用いて、平均力学や部分空間不変性を変えることなく、ほとんど確実な安定性率を向上させることができるか？
• RQ5 キュービットの場合、ほとんど確実な収束速度を正確に計算できるか？ また、理論的上限と一致するか？

主な発見

• 標的部分空間HSが、平均力学における不変性と同値に、ほとんど確実に不変である。同様に、全空間的漸近的安定性に対しても同様の同値性が成り立つ。
• 平均SMEに対して、常に厳密な線形リャプノフ関数が存在し、これにより平均リャプノフ指数α₀の鋭い上限が得られる。
• 適切な測定演算子（例：C_{n+1} = ℓS P_S + ℓR P_R）を選択することで、平均の安定性率α₀を固定したまま、ほとんど確実な安定性率α₁を任意に大きくできる。
• キュービットの場合、ほとんど確実な収束速度は正確にα₀ + α₁であり、ほぼ確実にlim_{t→∞} (1/t) ln(1−p(t)) = −(α₀ + α₁)が成り立つ。これは上限の鋭さを確認する。
• 数値シミュレーションにより、α₁を増加させることで、通常の軌道における収束が著しく速くなることが確認された。初期のフラクチュエーションにもかかわらず、状態は急速に標的部分空間に崩壊する。
• 非破壊的測定チャネルの追加により、平均力学や部分空間不変性を変えることなく、確率的力学が変化し、測定のバックアクションによる安定性の直接的な向上が実証された。