[論文レビュー] Exponential stock models driven by tempered stable processes

Uwe Küchler, Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、トゥーメン・ステーブル Lévy 確率過程によって駆動される指数型株価モデルにおける等価マルティンググール・メジャーの体系的分析を提供し、オプションプライシングにおける解析的取り扱いの容易さを維持することに焦点を当てている。Esscher、最小エントロピー、p-最適、Föllmer-Schweizer マルティングール・メジャーに対する存在条件を確立し、明示的なプライシング公式を導出し、インプライド・ボラティリティ・サーフェスを用いた DAX ケース・スタディを通じてモデルの安定性を示している。

ABSTRACT

We investigate exponential stock models driven by tempered stable processes, which constitute a rich family of purely discontinuous L\'{e}vy processes. With a view of option pricing, we provide a systematic analysis of the existence of equivalent martingale measures, under which the model remains analytically tractable. This includes the existence of Esscher martingale measures and martingale measures having minimal distance to the physical probability measure. Moreover, we provide pricing formulae for European call options and perform a case study.

研究の動機と目的

• トゥーメン・ステーブル過程によって駆動される指数型株価モデルにおける等価マルティングール・メジャーの存在条件を確立すること。
• 駆動過程のトゥーメン・ステーブル性を保ったまま、これらの測度におけるオプションプライシングの解析的取り扱いの容易さを確保すること。
• さまざまなマルティングール・メジャーの下で、フーリエ変換技術を用いてヨーロピアン・コール・オプションの明示的プライシング公式を導出すること。
• DAX 歷史的データとインプライド・ボラティリティ・サーフェスの計算を用いたケース・スタディを通じて、モデルの安定性と実用的適用可能性を検証すること。

提案手法

• 六つのパラメータ（α±, β±, λ±）を有するトゥーメン・ステーブル過程によって駆動される指数型 Lévy 確率過程を用いて株価をモデリングすること。
• Esscher 変換を適用し、過程がトゥーメン・ステーブルのまま保たれる等価マルティングール・メジャーを導出すること。
• 両側 Esscher 変換を用いて最小エントロピーおよび p-最適マルティングール・メジャーを構成し、凸最適化およびモーメント母関数を用いて存在条件を導出すること。
• Föllmer-Schweizer 最小マルティングール・メジャーを用い、新しい測度の下で過程が二つの独立なトゥーメン・ステーブル成分に分解されることを示すこと。
• フーリエ変換法による特性関数の逆転を用いてオプションプライシング公式を導出すること。
• 結果を DAX を用いたケース・スタディで検証し、歴史的データからパラメータを推定し、オプション価格およびインプライド・ボラティリティ・サーフェスを計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥーメン・ステーブル過程によって駆動される指数型株価モデルに対して、Esscher マルティングール・メジャーが存在する条件は何か？
• RQ2 最小エントロピー マルティングール・メジャーが存在するのはいつか？また、その存在は λ+ と λ− のパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 Föllmer-Schweizer 最小マルティングール・メジャーを構成することで、駆動過程の解析的取り扱いの容易さを保てると考えられるか？
• RQ4 実際の市場において、異なるマルティングール・メジャーはインプライド・ボラティリティ・サーフェスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 モデルのパラメータに小さなキャリブレーション誤差が生じた場合、得られるオプション価格はどの程度安定しているか？

主な発見

• Esscher マルティングール・メジャーが存在するための必要十分条件は、λ+ + λ− > 1 かつ r − q が区間 (f(−λ−), f(λ+ − 1)] 内にあることである。ここで f(Θ) はモーメント母関数を用いて定義される。
• 最小エントロピー マルティングール・メジャーが存在するのは、λ+ < 1 のとき、または λ+ ≥ 1 かつ α±, β±, λ± を含むドリフト条件を満たすときである。
• Föllmer-Schweizer 最小マルティングール・メジャーが存在するのは、ドリフト条件 α+Γ(−β+) ((λ+ −1)β+ − λ+β+) + α−Γ(−β−) ((λ−+1)β− − λ−β−) ≥ r − q が満たされるときである。
• フーリエ変換技術を用いた手法により、すべての考察されたマルティングール・メジャーの下でヨーロピアン・コール・オプションの価格を解析的に計算可能な公式が導出された。
• DAX インデックスを用いたケース・スタディでは、平均および標準偏差の小さな摂動に対してもオプション価格およびインプライド・ボラティリティ・サーフェスが局所的に平坦であることが示され、キャリブレーション誤差に対するロバストネスが確認された。
• 最小エントロピー測度の下で計算されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスは、短期満期ではボラティリティ・スメールの形状を示し、長期満期では平坦化する傾向を示しており、[28] で異なるキャリブレーション手法を用いた結果と整合的である。