[論文レビュー] Exponential Sums, Cyclic Codes and Sequences: the Odd Characteristic Kasami Case

Jinquan Luo, Yuansheng Tang+1 more|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、奇数の標数を持つ有限体上でのトレース関数を含む指数和の値分布を決定する。具体的には、$\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ および $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$ の形の和について、$q = p^n$、$n = 2m$、$k \neq m$ の条件下で考察する。主な貢献は、これらの和の明示的評価であり、これにより、$\mathbb{F}_{p^t}$ 上の2つの巡回符号 $\mathcal{C}_1$ と $\mathcal{C}_2$ の重み分布の特定および m-シーケンスの族間の相互相関分布の同定が可能になる。

ABSTRACT

Let $q=p^n$ with $n=2m$ and $p$ be an odd prime. Let $0\leq k\leq n-1$ and $k eq m$. In this paper we determine the value distribution of following exponential(character) sums \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1})}\quad(α\in \bF_{p^m},β\in \bF_{q})\] and \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1}+\ga x)}\quad(α\in \bF_{p^m},β,\ga\in \bF_{q})\] where $\Tra_1^n: \bF_q a \bF_p$ and $\Tra_1^m: \bF_{p^m} a\bF_p$ are the canonical trace mappings and $ζ_p=e^{\frac{2πi}{p}}$ is a primitive $p$-th root of unity. As applications: (1). We determine the weight distribution of the cyclic codes $\cC_1$ and $\cC_2$ over $\bF_{p^t}$ with parity-check polynomials $h_2(x)h_3(x)$ and $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$ respectively where $t$ is a divisor of $d=\gcd(m,k)$, and $h_1(x)$, $h_2(x)$ and $h_3(x)$ are the minimal polynomials of $π^{-1}$, $π^{-(p^k+1)}$ and $π^{-(p^m+1)}$ over $\bF_{p^t}$ respectively for a primitive element $π$ of $\bF_q$. (2). We determine the correlation distribution among a family of m-sequences. This paper extends the results in \cite{Zen Li}.

研究の動機と目的

• 奇数標数の有限体上での特定の指数和の値分布を決定すること。
• 与えられたパリティーチェック多項式を有する $\mathbb{F}_{p^t}$ 上の巡回符号 $\mathcal{C}_1$ と $\mathcal{C}_2$ の重み分布を導出すること。
• 評価された指数和を用いて、m-シーケンスの族間の相関分布を分析すること。
• 特に参考文献[30]における結果を、奇数標数のカサミの場合に一般化すること。

提案手法

• 本稿は、$\mathrm{Tr}_1^n: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p$ および $\mathrm{Tr}_1^m: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$ のトレース写像を用いて、$\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_{p^n}$、$n = 2m$、$p$ が奇数である条件下で指数和を評価する。ここで $\zeta_p = e^{2\pi i / p}$ である。
• ガウス和および指標和の性質、特に二次ガウス和とリーマン・ゼータ関数の記号 $\eta_0(\omega)$ を用い、関連する方程式の可解性条件に応じて和を評価する。
• 方程式 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ の $\mathbb{F}_q$ 内の解の分類を含み、$d = \gcd(k,m)$、$s = n/d$ として、$s-i$ と $d/t$ の偶奇に応じた場合分けを行う。
• 符号語の重みと指数和を結びつけるために、トレース写像 $\mathrm{Tr}_t^n$ を用い、符号語のハミング重みを $w_H(c) = p^{n-t}(p^t - 1) - \frac{1}{p^t} \sum_{a \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(a\alpha_1, \dots, a\alpha_u)$ と表現する。ここで $S$ は指数和を表す。
• 方程式 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ の可解性に基づく場合分けにより、$R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$ の異なる評価が得られる。
• 特に、非自明な二次指標 $\eta'$ に対して $\sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} \eta'(\omega) = 0$ が成り立つことを利用し、指標和およびガウス和理論の結果を応用して、和の正確な値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で、$\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$、$\beta \in \mathbb{F}_q$、$q = p^n$、$n = 2m$、$p$ が奇数、$k \neq m$ の条件下で、指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ の値分布は何か？
• RQ2 指数の項に線形項 $\gamma x$ が追加された場合、指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$ の値分布はどのように変化するか？
• RQ3 パリティーチェック多項式 $h_2(x)h_3(x)$ を持つ $\mathbb{F}_{p^t}$ 上の巡回符号 $\mathcal{C}_1$ の重み分布は何か？ここで $h_2$ と $h_3$ はそれぞれ $\pi^{-(p^k+1)}$ および $\pi^{-(p^m+1)}$ の最小多項式である。
• RQ4 パリティーチェック多項式 $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$ を持つ $\mathbb{F}_{p^t}$ 上の巡回符号 $\mathcal{C}_2$ の重み分布は何か？ここで $h_1$ は $\pi^{-1}$ の最小多項式である。
• RQ5 本稿で研究された指数和を用いて導出された m-シーケンスの族間の相関分布は何か？

主な発見

• 指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ の値分布は完全に特定され、パラメータおよび可解性条件に応じて、値 $\{0, \pm p^{m + \frac{id}{2}}, \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}\}$ をとる。
• 方程式 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ が $\mathbb{F}_q$ に解を持つ場合、和 $R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$ は、$s-i$ と $d/t$ の偶奇、およびトレース値 $\vartheta = \mathrm{Tr}_t^m(\alpha x_0^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_t^n(\beta x_0^{p^k+1})$ に応じて、$0$、$\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$、または $-\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$ に評価される。
• 方程式 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ が $\mathbb{F}_q$ に解を持たない場合、すべての $\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*$ に対して $S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma) = 0$ となるため、$R(\alpha,\beta,\gamma) = 0$ となり、符号語の重みは $p^{n-t}(p^t - 1)$ に等しくなる。
• $\mathcal{C}_1$ の重み分布は和 $T(\alpha,\beta)$ から導出され、符号語の重みは $\varepsilon = \pm 1$ に応じて $p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id}{2}}$ の値をとる。ここで $i$ は関連する二次形式のランクに関連する。
• $\mathcal{C}_2$ の重み分布は、$T(\alpha,\beta)$ と和 $R(\alpha,\beta,\gamma)$ の結果を組み合わせることで完全に特定され、方程式 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ の可解性および $s-i$ と $d/t$ の偶奇に応じて、$p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}$ または $p^{n-t}(p^t - 1) \pm (p^t - 1)p^{m + \frac{id}{2}}$ の形の重みをとる。
• 評価された指数和を用いて、m-シーケンスの族間の相関分布が明示的に特定され、奇数標数のカサミの場合における既存の結果が拡張された。