[論文レビュー] Exponential suppression of decoherence and relaxation of quantum systems using energy penalty

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、エネルギーペナルティハミルトニアンを用いて、論理的キュービットを基底部分空間に保つことにより、量子系におけるデ coherent および緩和の指数的抑制を示している。摂動論的アプローチを用いて系-環境相互作用を厳密に解析することで、無限大の温度でも、エネルギーギャップと環境相互作用の比に指数的に依存する要因によって、fidelity 損失が抑制されることを証明している。また、コード空間内でのユニタリな時間発展を引き起こすラムシフト効果を考慮に入れ、その影響を明示的に取り入れた。

ABSTRACT

One of the main methods for protecting quantum information against decoherence is to encode information in the ground subspace (or the low energy sector) of a Hamiltonian with a large energy gap which penalizes errors from environment. The protecting Hamiltonian is chosen such that its degenerate ground subspace is an error detecting code for the errors caused by the interaction with the environment. We consider environments with arbitrary number of local sites, e.g. spins, whose interactions among themselves are local and bounded. Then, assuming the system is interacting with a finite number of sites in the environment, we prove that, up to second order with respect to the coupling constant, decoherence and relaxation are suppressed by a factor which grows exponentially fast with the ratio of energy penalty to the norm of local interactions in the environment. The state may, however, still evolve unitarily inside the code subspace due to the Lamb shift effect. In the context of adiabatic quantum computation, this means that the evolution inside the code subspace is effectively governed by a renormalized Hamiltonian. The result is derived from first principles, without use of master equations or their assumptions, and holds even in the infinite temperature limit. We also prove that unbounded or non-local interactions in the environment at sites far from the system do not considerably modify the exponential suppression. Our main technical tool is a new bound on the decay of power spectral density at high frequencies for local observables and many-body Hamiltonians with bounded and local interactions in a neighborhood around the support of the observable.

研究の動機と目的

• エネルギーペナルティハミルトニアンによって保護される量子系におけるデ coherent および緩和の指数的抑制を、厳密に確立すること。
• 従来の理論的境界（$E_{\text{gap}}^{-2}$ のスケーリング）と、数値的観測で示されるより強い抑制との間に生じる不一致を解消すること。
• コード部分空間内でのユニタリな時間発展を引き起こすラムシフト効果を考慮に入れ、単純なfidelity境界が無効になる理由を明らかにすること。
• 非有界または非局所的な環境相互作用が指数的抑制に顕著な影響を及ぼさないことを示すこと。
• 特定のモデルに限定されない、一般化された摂動的フレームワークを構築し、エネルギーペナルティによる誤り抑制を可能とすること。

提案手法

• 結合定数 $\lambda$ に関して2次までの摂動展開を、マスター方程式を用いずに第一原理的に時間発展密度行列に適用する。
• 摂動的領域における誤り抑制に関する新規定理を導入し、エネルギーペナルティ保護の形式的枠組みを確立する。
• 局所的観測量のパワースペクトル密度を用いて、高周波成分の寄与を制限し、高速振動が局所的ダイナミクスにほとんど影響しないという直感を形式化する。
• 平衡状態におけるパワースペクトル密度 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ に対する境界を適用し、エネルギーギャップ $E_{\text{gap}}$ が増加するにつれて指数的に減衰することを示す。
• 環境モードのエネルギー $E_n \geq E_{\text{gap}}$ に対する系の応答を表す $b_n(t)$ の最大値を用いて、fidelity 損失の上界を導出し、$E_{\text{gap}}/J_{\text{max}}$ に指数的に依存する抑制を示す。
• ラムシフト効果がコード部分空間内にユニタリな時間発展を引き起こすことが示され、初期状態の完全な回復には補正が必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の環境条件下で、エネルギーペナルティを施された量子系に対して、デ coherent の指数的抑制を厳密に証明できるか？
• RQ2 なぜ数値的シミュレーションでは、従来の $E_{\text{gap}}^{-2}$ の境界よりも強い抑制が観測されるのか？
• RQ3 ラムシフト効果はコード部分空間内の有効ダイナミクスにどのように影響を及ぼし、なぜそれを考慮に入れる必要があるのか？
• RQ4 環境に非局所的または非有界な相互作用が存在する場合、誤りの指数的抑制が無効になるか？
• RQ5 環境パワースペクトルの高周波成分はどのような役割を果たし、厳密に境界を設定できるか？

主な発見

• fidelity 損失は、$J_{\text{max}}$ を局所的相互作用の最大強度、$r,k$ を環境構造に関連するパラメータとするとき、比 $E_{\text{gap}}/(16J_{\text{max}}rk)$ の指数関数的増加に比例する要因によって抑制される。
• 抑制要因には、$\frac{2^{R_{\text{I}}/rk}+1}{\text{Exp}_l\left(\frac{E_{\text{gap}}}{16J_{\text{max}}rk}\right)}$ の形の項が含まれており、これは $E_{\text{gap}}$ が増加するにつれて指数的に減少し、強い抑制をもたらす。
• ラムシフト効果はコード部分空間内にユニタリな時間発展を引き起こし、初期状態への完全な回復には補正が必要である。これを無視すると、抑制は $E_{\text{gap}}^{-1}$ にまで弱まる。
• 無限大温度でも指数的抑制が成立することを示し、保護機構の頑健性を示した。
• 系から遠く離れた環境における非局所的または非有界な相互作用は、局所的相互作用が有界であれば、指数的抑制を顕著に劣化させない。
• 導出されたパワースペクトル密度 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ に対する境界は、高周波環境モードが局所的観測量に与える影響が無視できるという事実を形式化している。