[論文レビュー] Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution and its Applications

Rameesa Jan, T. R. Jan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、逆パワー・リンデイ分布の累積分布関数をべき乗変換することにより導出された、3パラメータの柔軟な寿命分布である指数化逆パワー・リンデイ分布（EIPLD）を提案する。このモデルは、浴缸型の故障率を効果的に捉え、AIC/BICを用いた実際の修理時間データとの比較において、既存の分布よりも優れた適合度を示し、シミュレーションにより最尤推定量の一貫性が確認されている。

ABSTRACT

In this article,a three parameter generalisation of inverse lindley distribution is obtained, with the purpose of obtaining a more flexible model relative to the behaviour of hazard rate functions. Various statistical properties such as density, hazard rate functions, moments, moment generating functions, stochastic ordering, Renyi entropy, distribution of rth order statistics has been derived. The method of maximum likelihood estimation has been used to estimate parameters. Further confidence intervals are also obtained. Finally applicability of the proposed model to the real data is analysed. A comparison has also been made with some existing distributions.

研究の動機と目的

• 生存分析および信頼性工学における非単調な故障率、特に浴缸型の故障率をモデル化できる柔軟な3パラメータ分布の開発を目的とする。
• 逆リンデイ分布および逆パワー・リンデイ分布をべき乗化することで一般化し、複雑な故障時間行動のモデル化における柔軟性を向上させることを目的とする。
• 新規分布の主要な統計的性質、すなわちモーメント、モーメント生成関数、順序統計量、確率的順序、およびRényiエントロピーの導出を目的とする。
• 最尤推定法を用いたパラメータ推定の包括的フレームワークを提供し、漸近的信頼区間を含む。
• 実データへのモデルの性能を評価し、AIC、BIC、およびコルモゴロフ＝スミルノフ統計量を用いて既存の分布と比較することを目的とする。

提案手法

• 逆パワー・リンデイ分布のCDF $ G(z) $ を用いた変換 $ G_ heta(z) = [G(z)]^\theta $ を用いて、指数化逆パワー・リンデイ分布（EIPLD）を提案する。
• 確率密度関数（PDF）を $ g_\theta(z) = \frac{\theta \beta^{2\theta}}{1+\beta} \frac{1+z^\theta}{z^{2\theta+1}} e^{-\theta\beta / z^\theta} \big[1 + \frac{\beta}{1+\beta} \frac{1}{z^\theta} \big]^{\theta-1} $ として導出する。パラメータは $ \theta > 0 $、$ \beta > 0 $、$ \theta > 0 $ である。
• 生存関数 $ S(z) = 1 - \big[ \big(1 + \frac{\beta}{1+\beta} \frac{1}{z^\theta} \big) e^{-\beta / z^\theta} \big]^\theta $ および故障率関数 $ h(z) = \frac{g_\theta(z)}{S(z)} $ を導出する。
• モーメント生成関数によるモーメント、Rényiエントロピー、確率的順序、およびr番目の順序統計量の分布といった統計的性質を確立する。
• パラメータ $ \theta, \beta, \theta $ の最尤推定（MLE）を適用し、漸近的分散・共分散行列および信頼区間の導出のための観測フィッシャー情報行列を導出する。
• Rを用いた逆CDF法を用いたシミュレーションスタディにより、標本サイズ $ n = 25, 50, 100, 200, 300, 500 $ におけるバイアス、分散、平均二乗誤差（MSE）を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆パワー・リンデイ分布の3パラメータ一般化は、既存のモデルと比較して、非単調な故障率、特に浴缸型の故障率のモデル化において、より高い柔軟性を提供できるか？
• RQ2 提案されたEIPLDにおける統計的性質—モーメント、モーメント生成関数、Rényiエントロピー、確率的順序、および順序統計量—は、どのように振る舞うか？
• RQ3 EIPLDにおける最尤推定量のバイアス、分散、MSEは、さまざまな標本サイズにおいて、どの程度の性能を示すか？
• RQ4 EIPLDは、ワイブル分布、リンデイ分布、指数化指数分布といった競合モデルと比較して、実際の修理時間データに対して顕著に優れた適合度を示すか？
• RQ5 パラメータ $ \theta, \beta, \theta $ の漸近的信頼区間は何か？また、有限標本における性能はいかがであるか？

主な発見

• アクティブな修理時間データにフィットさせた結果、EIPLDは比較対象のすべてのモデルの中で最小のAIC（184.91）およびBIC（189.97）を達成し、優れたモデル適合度を示している。
• EIPLDのコルモゴロフ＝スミルノフ検定統計量は0.09537であり、すべてのモデルの中で最小であり、実データ分布に最も近い適合度を示している。
• パラメータの最尤推定量は $ \theta = 1.20167 $、$ \beta = 25.94112 $、$ \theta = 0.06205 $ であり、負の対数尤度は89.45であった。
• シミュレーション結果から、$ \theta, \beta, \theta $ の最尤推定量のバイアス、分散、MSEは標本サイズが増加するにつれて減少しており、推定量の一貫性と信頼性が確認された。
• EIPLDは、リンデイ分布および一般化リンデイ分布と比較して、-log-likelihoodを6単位以上削減したため、顕著に優れた適合度を示している。
• パrameter $ \theta = 1 $ のとき、逆リンデイ分布が特殊ケースとして含まれる。同様に $ \theta = \theta = 1 $ のとき、逆パワー・リンデイ分布が特殊ケースとして含まれる。このことは、モデルの一般性を裏付けている。