[論文レビュー] Exponentiated Weibull Power Series Distributions and its Applications

Eisa Mahmoudi, Mitra Shiran|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、幾何分布、ポアソン分布、対数分布などのべき級数分布と指数化ワイブル分布を合成することで構築された、柔軟な寿命モデルである指数化ワイブルべき級数（EWPS）分布を導入する。密度関数、生存関数、ハザード関数、分位数関数を導出し、EMアルゴリズムを用いた最尤推定を確立し、ベースラインモデルと比較して実データへの適合が優れていることを示している。応用事例により、増加、減少、バスタブ型、単峰型の故障率をモデル化する能力が示された。

ABSTRACT

In this paper we introduce the exponentiated Weibull power series (EWPS) class of distributions which is obtained by compounding exponentiated Weibull and power series distributions, where the compounding procedure follows same way that was previously carried out by Roman et al. (2010) and Cancho et al. (2011) in introducing the complementary exponential-geometric (CEG) and the two-parameter Poisson-exponential (PE) lifetime distributions, respectively. This distribution contains several lifetime models such as: exponentiated weibull-geometric (EWG), exponentiated weibull-binomial (EWB), exponentiated weibull-poisson (EWP), exponentiated weibull-logarithmic (EWL) distributions as a special case. The hazard rate function of the EWPS distribution can be increasing, decreasing, bathtub-shaped and unimodal failure rate among others. We obtain several properties of the EWPS distribution such as its probability density function, its reliability and failure rate functions, quantiles and moments. The maximum likelihood estimation procedure via a EM-algorithm is presented in this paper. Sub-models of the EWPS distribution are studied in details. In the end, Applications to two real data sets are given to show the flexibility and potentiality of the EWPS distribution.

研究の動機と目的

• 指数化ワイブル分布とべき級数分布を合成することで、新たな柔軟な寿命分布族を構築すること。
• 指数化ワイブル分布が多様な故障率形状をモデル化できる能力を活用し、既存の合成モデル（例：WPS、EPS）を拡張すること。
• EWG、EWP、EWB、EWLなどの部分モデルを特別な場合として含む統一的なフレームワークを提供すること。
• EMアルゴリズムを用いた最尤推定により、頑健な統計的推論を可能にすること。
• 信頼性工学および生存分析分野における実世界のデータ応用を通じて、モデルの実用的有用性を示すこと。

提案手法

• EWPS分布は合成によって構築される：寿命Yは、N個のi.i.d.な指数化ワイブル確率変数の最小値として定義され、ここでNはべき級数分布に従う。
• EWPSの確率密度関数（PDF）は、べき級数分布の確率生成関数と指数化ワイブル分布のPDFを統合することで導出され、べき級数分布の混合として表現される。
• 生存関数およびハザード関数は累積分布関数から導出され、バスタブ型や単峰型の形状を含む故障時間の挙動分析が可能になる。
• モーメントおよび分位数は、ガンマ関数と二項係数を含む級数展開を用いて得られ、整数αに対して閉形式が得られる。
• 潜在変数構造を有する合成プロセスに起因する性質を考慮し、最尤推定にはEMアルゴリズムが用いられる。
• 観測フィッシャー情報行列は明示的に計算され、α、β、γ、θに関する対数尤度の2階微分から各成分が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EWPS族は、標準的なワイブルモデルを上回る、バスタブ型や単峰型の故障率パターンを効果的にモデル化できるか？
• RQ2 EW、WPS、GE分布などの既存モデルと比較して、実寿命データセットへの適合度においてEWPS分布はどのように優れているか？
• RQ3 さまざまなデータ状況下で、EWPSパラメータの推定にEMアルゴリズムが示す統計的性能はいかがなものか？
• RQ4 部分モデル（例：EWG、EWP、EWL）は、親となるEW分布およびべき級数分布の性質をどのように継承・拡張するか？
• RQ5 べき級数分布のパラメータθは、EWPS分布の尾部挙動および全体的な柔軟性に果たす役割は何か？

主な発見

• 指数化ワイブルベースラインの柔軟性のおかげで、EWPS分布は増加、減少、バスタブ型、単峰型の多様な故障率形状をサポートする。
• 選択されたべき級数分布に応じて、EWG、EWB、EWP、EWLといった既知の分布が特別な場合として含まれる。
• EMアルゴリズムはパrameter推定において信頼性高く収束し、標準誤差および信頼区間の算出に用いる観測フィッシャー情報行列が明示的に導出された。
• 2つの実データ応用において、EWPSモデルは競合モデル（例：EW、WPS、GE）よりも優れた適合度を示した。これはAICおよびBICの値が低かったことからも裏付けられた。
• 整数αに対して、EW分布のk次のモーメントはガンマ関数と二項係数の有限和を含む閉形式で表現可能である。
• EWPSのハザード関数は、非単調な故障率を示す複雑な挙動を示すことができ、時間経過に伴いリスクが変化するシステムのモデル化に適している。