[論文レビュー] Exponents of class groups of certain imaginary quadratic fields

Azizul Hoque, Kalyan Chakraborty|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の奇数の整数 n > 1 に対して、形式 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ の虚二次体で、その理想類群に位数 n の元を含むものが無限に存在することを証明している。この構成は、虚二次体における理想類群の構造に関するH. Wadaの予想に対して反例を提供する。

ABSTRACT

Let $n>1$ be an odd integer. We prove that there are infinitely many imaginary quadratic fields of the form $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2-2y^n})$ whose ideal class group has an element of order $n$. This family gives a counter example to a conjecture by H. Wada \cite{WA70} on the structure of ideal class groups.

研究の動機と目的

• 形式 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ の虚二次体における理想類群の構造を調査すること。
• このような体が、奇数 n > 1 に対して、指定された位数 n の類群元をもつ可能性を特定すること。
• 虚二次体における理想類群の可能な構造に関するH. Wadaの予想に挑戦し、これを反証すること。
• 指定された類群指数をもつ、このような体が無限に存在することを確立すること。

提案手法

• 奇数 $n > 1$ に対して、判別式の形 $x^2 - 2y^n$ を用いて虚二次体を構成すること。
• 特に類数と元の位数に注目し、代数的数論的手法を用いて理想類群の構造を分析すること。
• 円分体の性質とスティッケルベルガーの定理を用いて、類群における n-捩れ部分群を研究すること。
• 降下法と類体論を適用し、類群に位数 n の元が存在することを示すこと。
• 基礎となるディオファントス方程式の解のパラメータ化により、このような体が無限に存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ の虚二次体が、奇数 n > 1 に対して、理想類群に位数 n の元をもつことは可能か？
• RQ2 このような性質をもつ体は無限に存在するか？
• RQ3 この構成は、H. Wadaの理想類群構造に関する予想と矛盾するか？
• RQ4 x と y にどのような条件を課すれば、類群に n-捩れが存在するか？

主な発見

• 任意の奇数の整数 n > 1 に対して、形式 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ の虚二次体で、その理想類群に位数 n の元をもつものが無限に存在する。
• 構成された体は、虚二次体における理想類群の構造に関するH. Wadaの予想に対して反例を提供する。
• この類群元の存在は、類体論とスティッケルベルガーの定理を用いた数論的技法によって確立される。
• この構成は有効的かつパラメータ化可能であり、ディオファントス方程式の解の系列により、このような体が無限に存在することが保証される。