[論文レビュー] Exponents of inhomogeneous Diophantine Approximation

Yann Bugeaud, Laurent Michel|ArXiv.org|Jun 3, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は非一様ディオファントス近似における新たな指数を導入し、一般の点における行列 A の非一様近似指数とその転置行列 ᵗA の一様均一近似指数との間に双対性を確立する。主な結果として、ほとんどすべての θ ∈ ℝⁿ に対して w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA) および ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA) が成り立ち、等号はほとんど everywhere で成立することを示しており、古典的な転送原理を鋭い定量的評価で改善する。

ABSTRACT

In Diophantine approximation, inhomogeneous problems are linked with homogeneous ones by means of the so-called Transference Theorems. We revisit this classical topic by introducing new exponents of Diophantine approximation. We prove that the exponent of approximation to a generic point in R^n by a system of n linear forms is equal to the inverse of the uniform homogeneous exponent associated to the system of dual forms.

研究の動機と目的

• 古典的な転送原理を、新たな定量的制御可能な指数を用いて非一様ディオファントス近似において再表現すること。
• 行列 A の非一様近似指数とその転置 ᵗA の一様均一近似指数との間の明確な双対性を確立すること。
• ℝⁿ 内のほとんどすべての点における非一様近似指数の一般的な挙動を特定すること。
• 特定の近似指数を持つ点の集合のハウスドルフ次元を分析すること、特に w > 1/ŵ(ᵗA) の場合に注目する。

提案手法

• 2つの新たな指数 w(A,θ) を導入：X が任意に大きいとき、||Ax + θ|| ≤ X⁻ʷ かつ |x| ≤ X を満たす解が存在するような w の上界として定義する。
• 一様指数 ŵ(A,θ) を定義：十分大きなすべての X に対して、同じ不等式が成り立つような w の上界として定義する。
• ボレル＝カンテーリーの補題を適用し、ほとんどすべての行列 A ∈ Mₙ,ₘ(ℝ) に対して w(A) = ŵ(A) = m/n が成り立つことを示す。
• A と ᵗA の間の双対性を用いて、下界 w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA) および ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA) を導出する。
• ハウスドルフ＝カンテーリーの補題を用いて、高次の近似指数を持つ点の集合のハウスドルフ次元を評価する。
• 特定の θ に対して ||Ax + θ|| の明示的下界を構成し、w(A,θ) が特定のしきい値を超えないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様近似指数 w(A,θ) とその転置行列の均一均一近似指数 ŵ(ᵗA) の間の正確な関係は何か？
• RQ2 一様指数を用いることで、ディオファントス近似における古典的転送定理を鋭くできるか？
• RQ3 w > 1/ŵ(ᵗA) のとき、w(A,θ) ≥ w を満たす点 θ ∈ ℝⁿ の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ4 w(A,θ) の一般的な挙動は、一様指数 ŵ(ᵗA) とどのように対比されるか？

主な発見

• ほとんどすべての θ ∈ ℝⁿ に対して、非一様指数 w(A,θ) は w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA) を満たし、等号はほとんど everywhere で成立する。
• 一様非一様指数 ŵ(A,θ) は ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA) を満たし、ほとんどすべての θ で等号が成立する。
• 集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} はLebesgue測度が0であり、w > 1/ŵ(ᵗA) のときハウスドルフ次元は n よりも厳密に小さい。
• w > 1/ŵ(ᵗA) のとき、集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} のハウスドルフ次元は上界 n − 1 + 1/(δ + 1) で抑えられる。ここで δ = (wŵ(ᵗA) − 1)/(2 + w + 1/ŵ(ᵗA)) である。
• A が列行列の場合、集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} のハウスドルフ次元は w ≥ 1 のとき 1/w に等しい。
• A = (ξ) のとき、集合 {θ ∈ ℝ : w((ξ),θ) ≥ w} のハウスドルフ次元は w ≥ 1 のとき 1/w に等しく、既知の結果と整合する。