[論文レビュー] Exposing and exploiting structure: optimal code generation for high-order finite element methods

Miklós Homolya, Robert C. Kirby+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用数 17

ひとこと要約

本論文では、高次有限要素の構造的性質を露呈するスマートな有限要素ライブラリ FInAT を導入し、Firedrake に統合された Two-Stage Form Compiler (TSFC) が和因子化やその他の最適化を自動的に適用可能にした。その結果、直方体要素において連続的・不連続的・H(div)・H(curl)要素について、高次有限要素のアセンブリにおいて最適な計算量的複雑性を達成し、ほぼ理想に近い性能を実現した。

ABSTRACT

Code generation based software platforms, such as Firedrake, have become popular tools for developing complicated finite element discretisations of partial differential equations. We extended the code generation infrastructure in Firedrake with optimisations that can exploit the structure inherent to some finite elements. This includes sum factorisation on cuboid cells for continuous, discontinuous, H(div) and H(curl) conforming elements. Our experiments confirm optimal algorithmic complexity for high-order finite element assembly. This is achieved through several novel contributions: the introduction of a more powerful interface between the form compiler and the library providing the finite elements; a more abstract, smarter library of finite elements called FInAT that explicitly communicates the structure of elements; and form compiler algorithms to automatically exploit this exposed structure.

研究の動機と目的

• 高次の有限要素法において、手で最適化されたスペクトル要素コードと自動生成された有限要素コードとの間の性能格差を解消すること。
• FIAT が、高度な最適化に不可欠な有限要素の構造的性質を露呈できないという限界を克服すること。
• 有限要素の数学的構造（たとえばテンソル積構造や和因子化）をコード生成パイプライン内で自動的に活用できるようにすること。
• フォームコンパイラ駆動の最適化により、高次有限要素アセンブリにおける最適な計算量的複雑性を達成すること。
• 高次有限要素法における行列フリーな作用素の効率的応用を可能にし、高価な行列アセンブリを排除すること。

提案手法

• 有限要素の構造的性質（例：テンソル積構造）を明示的に露呈する、新たな豊富なインターフェースを備えた FInAT という新しい有限要素ライブラリの設計および実装。
• TSFC のフォームコンパイラを拡張し、FInAT 要素から得られる構造的情報を検出し、六面体要素において和因子化を自動的に適用可能にした。
• TSFC に「スペクトルモード」という新しいコンパイルモードを導入し、高次要素向けに構造認識型のループ変換およびコード生成を実行した。
• 重複するガウス求積点での評価において、計算コストを削減しながらも精度を損なわないように、アンダーインテグレーション認識型評価を実装した。
• UFL の弱形式から、FInAT からの構造的インサイトを活用した高度に最適化された C カーネルを生成する新しいコード生成パイプラインを設計・統合した。
• 新パイプラインの性能を FIAT に基づくコンパイルおよび手で最適化されたスペクトルコードと比較してベンチマークし、最適性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次有限要素の構造的性質を、フォームコンパイラが自動最適化を可能にする形で露呈することは可能か？
• RQ2 高次 FEM のコード生成フレームワークにおいて、和因子化やその他の最適化をどの程度自動的に適用できるか？
• RQ3 FInAT という新しいライブラリインターフェースを通じて要素構造を露呈することで、有限要素アセンブリにおける最適な計算量的複雑性を達成できるか？
• RQ4 新コード生成パイプラインの性能は、高次の多項式次数において、手で最適化されたスペクトル要素コードと比べてどの程度か？
• RQ5 高価な行列アセンブリを排除することで、行列フリーな作用素応用が高次 FEM で最適な性能を達成できるか？

主な発見

• 新規の FInAT ライブラリは、テンソル積構造などの有限要素の構造的性質を効果的に露呈し、かつては手書きコードでのみ可能だった高度な最適化を可能にした。
• TSFC の「スペクトルモード」は、六面体要素において高次有限要素アセンブリの最適な計算量的複雑性を達成し、手で最適化されたスペクトルコードと同等またはそれ以上の性能を示した。
• 新パイプラインにおける行列フリー作用素応用は、多項式次数に応じて効率的にスケーリングされ、次数 8～10 までに1自由度あたりのコストがほぼ一定を維持した。
• FIAT を用いた場合、高次要素では 100MB を超える巨大なカーネルが生成され、コンパイルが非現実的になるのに対し、FInAT を用いたコンパイルは依然として効率的であった。
• フォームコンパイルのオーバーヘッドは非常に小さく、複雑なハイパーリンクモデルですら 6 秒未満であったため、実世界の応用において実用的であった。
• TSFC のスペクトルモードは、通常モードおよびコーヒー（coffee）モードを上回り、低次の多項式次数であっても、すべてのケースのデフォルトとして推奨される。