[論文レビュー] Exposing boundary points of strongly pseudoconvex subvarieties in complex spaces

Fusheng Deng, John Erik Fornæss+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素空間内の強擬凸部分多様体の境界点が、恒等写像から任意に近い正則自己同型写像を用いて、与えられた実超曲面へ大域的に露わにできることを確立している。主な貢献は、$ℝ^n$ 内の有界強擬凸領域に対して、パrametricな露わ化定理を確立し、任意の境界点が $C^1$-小な正則自己同型写像によって厳密に凸な境界点に写されることが示されている。複素解析におけるグローバル幾何と凸性への応用を含む。

ABSTRACT

We prove that all locally exposable points in a Stein compact in a complex space can be exposed along a given curve to a given real hypersurface. Moreover, the exposing map for a boundary point can be sufficiently close to the identity map outside any fixed neighborhood of the point. We also prove a parametric version of this result for bounded strongly pseudoconvex domains in $\mathbb C^n$. For a bounded strongly pseudoconvex domain in $\mathbb C^n$ and a given boundary point of it, we prove that there is a global coordinate change on the closure of the domain which is arbitrarily close to the identity map with respect to the $C^1$-norm and maps the boundary point to a strongly convex boundary point.

研究の動機と目的

• スタインコンパクト内の局所的に露わな境界点が、点の近傍を除いて恒等写像に任意に近い正則同型写像を用いて、与えられた実超曲面へ大域的に露わにできることを証明すること。
• 有界強擬凸領域のパrametric版露わ化写像構成法を確立すること。
• 有界強擬凸領域の任意の境界点が、$C^1$-小な正則自己同型写像によって、像の境界点が厳密に凸になるように写されることが示されること。
• 露わ化写像の構成を、1-凸空間や密度性を持つスタイン多様体を含むより一般の複素空間へ拡張すること。

提案手法

• 局所的露わ化写像を、グローバルな正則自己同型写像で近似するために Andersén-Lempert 理論を用いる。
• 領域を変形しながらも、境界点の露わ化性を保つ正則写像のファイバーを保存するホモトピーを構成する。
• 露わ化写像が点の近傍を除いて恒等写像に一様に近くなるように保証するため、$C^1$-近似技術を適用する。
• コンパクト台付きベクトル場を用いて、露わにされた点を除く領域の構造を保つグローバルホモトピーを定義する。
• カットオフ関数による径方向拡張を用いて、領域を $ℝ^n$ 内の大きな球面へ写像し、像の点が球面上に位置することを保証する。
• $h$-コボルディズム定理および微分位相幾何学を用いて、$n=2$ または $n>2$ のとき、強擬凸領域の閉包が単位球に微分同相であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素空間内のスタインコンパクトの局所的に露わな境界点は、点の近傍を除いて恒等写像に任意に近い正則同型写像を用いて、与えられた実超曲面へ大域的に露わにできるか？
• RQ2 有界強擬凸領域の $\mathbb{C}^n$ 内で、与えられた境界点を $C^1$-小な正則自己同型写像によって厳密に凸な境界点に写せるか？
• RQ3 境界点をパラメータとする連続な写像族（パラメトリック族）を構成し、露わ化条件と恒等写像への $C^1$-近さを保てるか？
• RQ4 露わ化写像を、局所正則同型写像ではなく、$ℝ^n$ の正則自己同型写像として選べる条件は何か？
• RQ5 境界点の大域的露わ化は、領域の幾何が厳密に凸領域の幾何と具体的に同値になることを意味するか？

主な発見

• 任意のスタインコンパクト $K\subset X$ 内の局所的に露わな点 $\zeta$ に対して、実超曲面 $H$ に露わにされる正則同型写像 $f$ が存在し、任意に与えられた $\zeta$ の近傍 $V'$ に対して、$f$ は $K\setminus V'$ 上で恒等写像から $\epsilon$-近い。
• $\mathbb{C}^n$ 内で $K$ が多項式的凸であるとき、露わ化写像 $f$ を $\mathbb{C}^n$ の正則自己同型写像として取れる。
• 任意の有界強擬凸領域 $D\subset\mathbb{C}^n$ に対して、$C^1$-小な正則自己同型写像 $F$ が存在し、$F(\zeta)$ が $F(D)$ の厳密に凸な境界点となる。さらに、$\|F - \mathrm{id}\|_{C^1(\overline{D})} < \epsilon$ が成り立つ。
• ファイバーを保存する曲線族 $\gamma_\zeta$（$\partial D$ から大きな球面 $S_R$ へ）に対して、パラメトリック露わ化定理が成り立ち、一様に $C^1$-近さが保証される。
• もし $\overline{D}$ が多項式的凸であるならば、パラメトリック設定下での露わ化写像を $\mathbb{C}^n$ の正則自己同型写像として選べる。
• $n=2$ または $n>2$ のとき、滑らかな境界をもつ有界強擬凸領域の閉包は、閉単位球に微分同相であり、これは厳密に凸領域と位相的に同値であることを示唆する。