[論文レビュー] Expressing an observer in preferred coordinates by transforming an injective immersion into a surjective diffeomorphism

Pauline Bernard, Vincent Andrieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 13被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、座標拡張と関数拡張を用いて単射埋め込みを全射微分同相に変換することにより、元のシステムと同じ座標系で観測者ダイナミクスを表現する手法を提案する。主な貢献は、暗黙の式を解かずに直接的な座標ベースの実装を可能にする明示的な微分同相を構成する構成的アプローチであり、収束性の性質を保持する。

ABSTRACT

When designing observers for nonlinear systems, the dynamics of the given system and of the designed observer are usually not expressed in the same coordinates or even have states evolving in different spaces. In general, the function, denoted $\ au$ (or its inverse, denoted $\ au^*$) giving one state in terms of the other is not explicitly known and this creates implementation issues. We propose to round this problem by expressing the observer dynamics in the the same coordinates as the given system. But this may impose to add extra coordinates, problem that we call augmentation. This may also impose to modify the domain or the range of the augmented" $\ au$ or $\ au^*$, problem that we call extension. We show that the augmentation problem can be solved partly by a continuous completion of a free family of vectors and that the extension problem can be solved by a function extension making the image of the extended function the whole space. We also show how augmentation and extension can be done without modifying the observer dynamics and therefore with maintaining convergence.Several examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• システムのダイナミクスとは異なる座標系における観測者状態推定の課題に対処すること。
• 状態再構成に暗黙的でコストの高い最適化ベースの写像（例：最小化や飽和）に依存しないようにすること。
• 明示的な微分同相を用いて、観測者ダイナミクスをシステムの好ましい座標系に直接表現可能にすること。
• 座標変換の過程で観測者の収束性の性質を維持すること。

提案手法

• 自由なベクトル族の連続的完了を用いた座標拡張技術を導入し、観測者状態空間を拡張する。
• 微分同相的変形（diffeotropy）を用いて関数拡張を行い、逆写像の定義域を全状態空間に拡張する。
• 観測者状態空間からシステム状態空間へ全射的に写像するグローバルな微分同相 τₑ を構成する。
• ブロウアーの不変性定理および滑らかさの拡張定理（例：[15] より）を適用し、拡張写像の滑らかさと微分同相性を保証する。
• 拡張された微分同相 τₑ が、関心のあるコンパクト集合上で元の写像 τ と一致することを保証し、観測者の収束性を維持する。
• 滑らかなリャプノフ関数とコンパクト吸引子の存在を活用し、レベル集合解析を用いて必要な微分同相を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測者状態空間からシステム状態空間への単射埋め込みを、観測者ダイナミクスや収束性を変更せずに全射微分同相に変換できるか？
• RQ2 逆写像 τ* を滑らかさと微分同相性の性質を保ちつつ、全空間に拡張するにはどうすればよいか？
• RQ3 観測者ダイナミクスをシステムの好ましい座標系に直接表現可能にするための明示的微分同相 τₑ を構成可能とする条件は何か？
• RQ4 座標拡張と関数拡張を、観測者の収束性を維持する形で行うにはどうすればよいか？
• RQ5 コンパクト吸引子と滑らかなリャプノフ関数は、局所的な微分同相を全空間に拡張可能にするために果たす役割は何か？

主な発見

• グローバルな C²-微分同相 τₑ を構成可能であり、これは元の単射埋め込み τ* を R^m から R^m への全射写像に拡張し、全状態再構成を保証する。
• 拡張は、コンパクト集合 K で元の写像と一致する微分同相的変形 Fₑ を用いて達成され、観測者の収束性が保持される。
• 本手法により、暗黙の式を解かずに最適化に依存せず、システムの好ましい座標系に直接観測者ダイナミクスを表現可能となる。
• 構成により元の観測者ダイナミクスが維持され、新たな座標表現下でも収束性が保たれる。
• 本手法はハイゲイン観測者および非線形ルエンバーガー観測者に適用可能であり、未知周波数を有する調和振動子のような系において実現可能性が示されている。
• 滑らかなリャプノフ関数およびトポロジー的道具（例：ブロウアーの不変性定理、C²-微分同相の拡張）を用いた理論的保証が提供されている。