[論文レビュー] Extendability of continuous maps is undecidable

Martin Čadek, Marek Krčál+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、領域次元が 2k のとき、連続写像の延長問題が、(k−1)-連結な被覆空間に対しても、決定不能であることを確立している。以前に知られていた解ける閾値 dim X ≤ 2k−1 を超えて、問題が決定不能になることを証明し、さらに、被覆空間やペア (X, A) を固定しても、その決定不能性が保たれることを示している。この結果は、計算的代数的トポロジーにおける以前の複雑性境界を強化する。

ABSTRACT

We consider two basic problems of algebraic topology, the extension problem and the computation of higher homotopy groups, from the point of view of computability and computational complexity. The extension problem is the following: Given topological spaces X and Y, a subspace A\subseteq X, and a (continuous) map f:A->Y, decide whether f can be extended to a continuous map \bar{f}:X->Y. All spaces are given as finite simplicial complexes and the map f is simplicial. Recent positive algorithmic results, proved in a series of companion papers, show that for (k-1)-connected Y, k>=2, the extension problem is algorithmically solvable if the dimension of X is at most 2k-1, and even in polynomial time when k is fixed. Here we show that the condition \dim X<=2k-1 cannot be relaxed: for \dim X=2k, the extension problem with (k-1)-connected Y becomes undecidable. Moreover, either the target space Y or the pair (X,A) can be fixed in such a way that the problem remains undecidable. Our second result, a strengthening of a result of Anick, says that the computation of π_k(Y) of a 1-connected simplicial complex Y is #P-hard when k is considered as a part of the input.

研究の動機と目的

• 有限単体複体間の連続写像の延長問題の計算的複雑性境界を特定すること。
• Y が (k−1)-連結であるとき、dim X ≤ 2k−1 の既知の閾値を超えて、延長問題が依然として決定可能かどうかを調査すること。
• 被覆空間 Y あるいはペア (X, A) を固定しても、決定不能性が生じることを確立すること。
• 高次ホモトピー群 πk(Y) を計算する際の複雑性境界を強化し、k が入力に含まれる場合に #P-困難であることを示すこと。

提案手法

• 群論における語問題から延長問題への還元を用い、ホモトピー論および単体的集合の構成を活用する。
• Kan複体とホーン埋め込み手順を用いて、ホモトピー型をモデル化し、任意の単体的集合から ∞-同値を構成する。
• 相対的ホルエヴィツの定理とホモロジー完全列を用いて、有限近似におけるホモトピー群を制御する。
• 与えられた (k−1)-連結な Kan 複体 Z に対して、有限性と連結性を保ちつつ、n-同値である有限単体的集合 Z′ を構成する。
• 単体的集合におけるホーンの繰り返し埋め込みを用いて、K∞(Y) を構築し、Y に対して ∞-同値である Kan 複体を得る。
• K∞(Y) を最小 Kans 複体に deformation retraction させることで、有限性を保ちつつホモトピー型を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Y が (k−1)-連結であるとき、dim X = 2k の場合に、延長問題は決定可能か？
• RQ2 被覆空間 Y あるいはペア (X, A) を固定しても、延長問題の決定不能性は維持されるか？
• RQ3 k が入力に含まれる場合、πk(Y) を計算する計算的複雑性は何か？
• RQ4 dim X ≤ 2k−1 の範囲でアルゴリズム的に解ける延長問題が、より高い次元に拡張可能か？
• RQ5 有限単体的集合は、ホモトピー群を次元 n まで保存しながら、高次ホモトピー型を近似可能か？

主な発見

• dim X = 2k のとき、(k−1)-連結な Y に対しても、延長問題は決定不能であり、dim X ≤ 2k−1 がタイトな境界であることを示している。
• 被覆空間 Y が (k−1)-連結な有限単体複体に固定されても、決定不能性が保たれる。
• ペア (X, A) が固定されても、X が次元 2k で A が部分複体である場合、延長問題は依然として決定不能である。
• k が入力に含まれる場合、1-連結な単体的複体 Y に対して πk(Y) を計算することは #P-困難であり、Anick の結果を強化している。
• 任意の (k−1)-連結な Kan 複体 Z で、次元 n までに有限生成ホモロジーを持つものに対して、(k−1)-削減された有限単体的集合 Z′ と n-同値写像 ψ: Z′ → Z が存在する。
• 繰り返しホーン埋め込みによる K∞(Y) の構成は、Y に対して ∞-同値である Kan 複体を生成し、この複体はホモトピー型を保存する最小 Kans 複体への deformation retraction を持つ。