[論文レビュー] Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds -- II

Boris Dubrovin, Youjin Zhang+1 more|ArXiv.org|Feb 17, 2005

Advanced Algebra and Geometry被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、根系型$B_l$および$C_l$の拡張アフィン ワイル群の軌道空間に、Frobenius多様体構造が存在することを確立する。これは、特定の頂点に限らず、ディンキン図の任意の頂点に対して成り立つように、以前の結果を一般化したものである。構成には、$W_a$-不変フーリエ多項式および拡張ワイル群の不変性から導かれる平坦計量と平坦座標が用いられ、$t^1, \dots, t^l, \frac{1}{t^l}, e^{t^{l+1}}$における多項式ポテンシャルが得られる。得られる$B_l$用のFrobenius多様体は、座標変換によって$C_l$用のそれと同型である。

ABSTRACT

For the root system of type $B_l$ and $C_l$, we generalize the result of \cite{DZ1998} by showing the existence of a Frobenius manifold structure on the orbit space of the extended affine Weyl group that corresponds to any vertex of the Dynkin diagram instead of a particular choice of \cite{DZ1998}.

研究の動機と目的

• 拡張アフィン ワイル群の軌道空間におけるFrobenius多様体構成を、特定の頂点選択から、根系型$B_l$および$C_l$のディンキン図の任意の頂点へ一般化すること。
• 不変環$\mathcal{A}$に対するチェヴァリエ型定理が、任意の頂点において普遍的に成り立つことを確立し、軌道空間が次元$l+1$のアフィン代数的集合であることを保証すること。
• 平坦な計量のペンキルを構成し、平坦座標を導出し、Frobenius多様体構造の定義を可能にすること。
• Frobenius多様体のポテンシャル関数が、$t^1, \dots, t^{l-1}, t^l, \frac{1}{t^l}, e^{t^{l+1}}$における多項式であることを証明すること。

提案手法

• 拡張アフィン ワイル群$\widetilde{W}^{(k)}(R)$を、アフィン ワイル群$W_a$と拡張空間$\widetilde{V} = V \oplus \mathbb{R}$における$\omega_k$による平行移動の半直積として定義する。
• $\widetilde{W}$-不変フーリエ多項式の環$\mathcal{A}^{(k)}(R)$を、$\omega_k$および$\tau \to +\infty$を含む特定の極限条件の下での有界性を満たすように構成する。
• 変換された座標$\tilde{y}_j(x) = e^{2\pi i d_j x_{l+1}} y_j(\mathbb{x})$および$\tilde{y}_{l+1}(x) = e^{2\pi i x_{l+1}}$を導入する。ここで$d_j = (\omega_j, \omega_k)$であり、$y_j$は$W_a$-不変フーリエ多項式である。
• 平坦座標$t^1, \dots, t^{l+1}$を用いて、逆計量$g^{ij}$を構成することで、軌道空間に平坦なペンキル計量を導出する。成分は、$t^1, \dots, t^l, \frac{1}{t^l}, e^{t^{l+1}}$の関数として表現される。
• Frobenius多様体の公理を検証する：平坦計量の存在、乗法構造の整合性、オイラーベクトル場の存在、および平坦座標における多項式関数としてのポテンシャル関数$F$の存在。
• $B_l$と$C_l$のFrobenius多様体構造が、座標変換$y^l \mapsto (y^l)^2$および$y^{l+1} \mapsto \frac{1}{2}y^{l+1}$（$k=l$の場合）、$y^{l+1} \mapsto y^{l+1}$（$k < l$の場合）により同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディンキン図の$B_l$および$C_l$の任意の頂点に対して、拡張アフィン ワイル群の軌道空間にFrobenius多様体構造が存在するか？
• RQ2 不変環$\mathcal{A}$に対するチェヴァリエ型定理が、$B_l$および$C_l$のディンキン図のすべての頂点に拡張可能か？
• RQ3 任意の頂点選択に対して、Frobenius多様体のポテンシャル関数が、$t^1, \dots, t^l, \frac{1}{t^l}, e^{t^{l+1}}$における多項式か？
• RQ4 同じ頂点がそれぞれのディンキン図に選ばれた場合、$B_l$および$C_l$に関連するFrobenius多様体は同型か？

主な発見

• Frobenius多様体構造は、$B_l$および$C_l$のディンキン図の任意の頂点$k$に対して、拡張アフィン ワイル群$\widetilde{W}^{(k)}(R)$の軌道空間上に存在する。これは、[5]の結果（$k$の特定の選択に限られていた）を一般化するものである。
• Frobenius多様体のポテンシャル関数$F$は、平坦座標$t^1, \dots, t^{l-1}, t^l, \frac{1}{t^l}, e^{t^{l+1}}$における多項式であり、$l=4$の場合に明示的に計算されている。$g^{ij}$および$F$はすべて$t^1, \dots, t^5$の関数として与えられる。
• 逆計量成分$g^{ij}$は$l=4$の場合に明示的に計算されており、$g^{33} = 12 t_4^2 e^{t_5} t_1 + 48 t_4^2 e^{2t_5} - \frac{1}{4} t_3^2 + \frac{1}{12} t_3 t_4^3 - \frac{1}{108} t_4^6 + \frac{1}{4} \frac{t_3^3}{t_4^3}$であり、他の成分も同様に表現される。
• オイラーベクトル場は$E = \frac{1}{2} t_1 \partial_1 + t_2 \partial_2 + \frac{3}{4} t_3 \partial_3 + \frac{1}{4} t_4 \partial_4 + \frac{1}{2} \partial_5$であり、ポテンシャルの同次性を確認する。
• $B_l$の任意の頂点$k$に対するFrobenius多様体は、同じ頂点$k$を用いた$C_l$のそれと、座標変換$y^l \mapsto (y^l)^2$および$y^{l+1} \mapsto \frac{1}{2} y^{l+1}$（$k=l$の場合）または$y^{l+1} \mapsto y^{l+1}$（$k < l$の場合）により同型である。