[論文レビュー] Extended Applicability of the Symplectic Pontryagin Method

Mattias Sandberg|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Matrix Theory and Algorithms参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、双対変数の有界勾配を仮定しなくても解の存在と収束を保証するより弱い仮定の下で、最適制御問題を解くためのSymplectic Pontryagin法を拡張している。誤差境界は $\delta + \Delta t$ に抑えられ、正則化と時間離散化を独立に細分化しても誤差が悪化しない。

ABSTRACT

The Symplectic Pontryagin method was introduced in a previous paper. This work shows that this method is applicable under less restrictive assumptions. Existence of solutions to the Symplectic Pontryagin scheme are shown to exist without the previous assumption on a bounded gradient of the discrete dual variable. The convergence proof uses the representation of solutions to a Hamilton-Jacobi-Bellman equation as the value function of an associated variation problem.

研究の動機と目的

• 従来の研究よりも制限の少ない条件下で、Symplectic Pontryaginスキームの解の存在を確立すること。
• 離散的双対変数の有界勾配を仮定する前提を排除すること。
• 誤差推定値を $\delta + \Delta t + \Delta t^2/\delta$ から $\delta + \Delta t$ に改善し、$\delta$ と $\Delta t$ の独立した最適化を可能にすること。
• 解を変分問題の最小化として表現し、値関数の擬凸性を用いた収束証明を提供すること。

提案手法

• 微分可能性を保証するため、$|H^\delta - H| \leq \delta$ を満たす正則化ハミルトニアン $H^\delta$ を用いる。
• 時間離散化 $\Delta t = T/N$ を用いて、正則化ハミルトニアン系にSymplectic Eulerスキームを適用する。
• ハミルトン・ジャコビ・ベルマン方程式の解を、走行コスト $L(x,\alpha)$ を含む変分問題の最小値として表現する。
• 双対変数 $\lambda$ の最大化者にコンパクト性を保証するため、二次ペナルティ項を含む修正ハミルトニアン $\tilde{H}$ を導入する。
• 値関数 $u$ の局所的擬凸性を活用し、離散的・連続的時間微分の差を評価する。
• 超微分推定とリプシッツ連続性を用いて、離散スキームの値と連続的変分問題との比較により誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対変数の勾配が有界であるという仮定なしに、Symplectic Pontryagin法の解の存在を証明できるか？
• RQ2 正則性仮定を緩和した下で、Symplectic Pontryagin法の最適誤差境界は何か？
• RQ3 正則化パラメータ $\delta$ と時間ステップ $\Delta t$ を、収束の劣化を伴わずに独立に調整できるか？
• RQ4 値関数を変分問題の最小値として表現することにより、収束解析にどのように寄与するか？
• RQ5 値関数の擬凸性が、離散解と連続解の間の誤差をどのように制御するか？

主な発見

• 双対変数の勾配が有界でない場合でも、Symplectic Pontryaginスキームの解がより広いクラスのハミルトニアンに対して存在する。
• 誤差境界は $\delta + \Delta t$ に確立され、従来の $\delta + \Delta t + \Delta t^2/\delta$ よりも優れている。
• 正則化パラメータ $\delta$ と時間ステップ $\Delta t$ は、$\Delta t$ を固定したまま $\delta$ を小さくしても誤差が悪化しないため、独立に選べる。
• 値関数を変分問題の最小値として表現することで、方法の収束が証明され、離散スキームがこの最小値を近似する。
• ペナルティ付きハミルトニアン $\tilde{H}$ の使用により、双対変数における最大化者のコンパクト性が保証され、$\lambda^*$ に対する一様な境界が得られる。
• $\bar{u}(x_0,0) - u(x_0,0)$ の下界が $-\frac{1}{2}C_1C_2(C_3+1)e^{C_2T}T\Delta t$ として導出され、$\Delta t$ に関して線形収束であることが確認された。