[論文レビュー] Extended Armendariz Rings

Nazım Agayev, Halicioglu, Sait+1 more|DSpace@FSM (FSM Vakif University)|Dec 14, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、Armendariz環および線形Armendariz環の一般化である中心線形Armendariz環を導入し、調査する。中心線形Armendariz環とは、2つの線形多項式の積が0であるならば、各係数の積が中心にあるという性質を満たす環である。主な貢献は、中心線形Armendariz環が線形Armendariz環を真に含み、アーベル環に真に含まれることを確立し、中心的単純環と行列環との間の新しい特徴付けを提示することにある。

ABSTRACT

In this note we introduce central linear Armendariz rings as a generalization of Armendariz rings and investigate their properties.

研究の動機と目的

• 線形多項式の積が0であるとき、その係数の積が中心になるという条件を満たす中心線形Armendariz環を導入することで、Armendariz環を一般化すること。
• 中心線形Armendariz環、線形Armendariz環、アーベル環、単純環の間の階層関係を調査すること。
• 特に中心的単純環と関連して、行列環や自明拡大が中心線形Armendarizである条件を特徴付けること。
• 多項式環およびローレンツ多項式環が中心線形Armendariz性を保つための条件を確立すること。
• 行列構成を用いて、半素環、中心的単純環、中心線形Armendariz環の関係を明らかにすること。

提案手法

• 環 $ R[x] $ 内の2つの線形多項式の積が0であるとき、その係数の積が $ R $ の中心に属するという条件により、中心線形Armendariz環を定義する。
• べき等元と多項式因数分解の技法を用いて、中心線形Armendariz環は必ずアーベル環（すなわち、べき等元が中心にある）でなければならないことを証明する。
• すべての冪零元が中心にあるという性質を持つ中心的単純環の概念を導入し、単純環の一般化として非単純な状況への結果の拡張を図る。
• 環 $ R $ の自明拡大 $ T(R,R) $ を用いて例を構成し、中心線形Armendariz条件の下での閉包性を証明する。
• ローレンツ多項式の構造を用いて、$ R[x] $ が中心線形Armendarizであることと $ R[x,x^{-1}] $ が中心線形Armendarizであることの必要十分条件を証明する。
• 特に $ T_n^{n-1}(R) $ を含む行列環構成 $ T_n^k(R) $ を用いて、このような環が中心線形Armendarizである条件を特徴付け、中心的単純性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心線形Armendariz環のクラスは、線形Armendariz環、アーベル環、単純環のクラスとどのように関係しているか？
• RQ2 $ R $ が中心的単純環であるとき、自明拡大 $ T(R,R) $ が中心線形Armendarizである条件は何か？
• RQ3 多項式環 $ R[x] $ またはローレンツ多項式環 $ R[x,x^{-1}] $ が中心線形Armendarizである条件は何か？
• RQ4 半素環 $ R $ と中心線形Armendariz行列環 $ T_n^{n-1}(R) $ の間の関係は何か？
• RQ5 特に中心的単純環の文脈において、冪零元を用いて中心線形Armendariz性を特徴付けることは可能か？

主な発見

• 中心線形Armendariz環は、線形Armendariz環を真に含み、アーベル環に真に含まれる。
• 環 $ R $ が中心線形Armendarizであることと、$ R[x] $ が中心線形Armendarizであることと、$ R[x,x^{-1}] $ が中心線形Armendarizであることは同値である。
• $ R $ が中心的単純環であれば、$ R $ は中心線形Armendarizであり、自明拡大 $ T(R,R) $ に対しても中心線形Armendarizである。
• 半素環 $ R $ に対して、$ R $ が中心的単純環であることと、行列環 $ T_n^{n-1}(R) $ が中心線形Armendarizであることは同値である。
• $ R/I $ が中心線形Armendarizであり、$ I $ が単純環であれば、$ R $ は中心線形Armendarizである。
• 環 $ R $ が単純環であることと、$ T_n^k(R) $ がArmendariz（$ k = [n/2] $ のとき）であり、かつ $ T_n^{n-2}(R) $ が中心線形Armendarizであることは同値である（$ n o 3 $ のとき）