[論文レビュー] Extended B-Spline Collocation Method For KdV-Burgers Equation

Özlem Ersoy Hepson, Alper Korkmaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、KdV-Burgers方程式の初期境界値問題を解くために、拡張された3次Bスプライン配置法とCrank-Nicolson時間離散化を組み合わせた手法を提案する。3階微分項を変数変換によって低減し、得られた連立系を解くことで、従来手法と比較して最大ノルム誤差が少なくとも2桁改善された高精度が達成された。

ABSTRACT

The extended form of the classical polynomial cubic B-spline function is used to set up a collocation method for some initial boundary value problems derived for the Korteweg-de Vries-Burgers equation. Having nonexistence of third order derivatives of the cubic B-splines forces us to reduce the order of the term uxxx to give a coupled system of equations. The space discretization of this system is accomplished by the collocation method following the time discretization with Crank-Nicolson method. Two initial boundary value problems, one having analytical solution and the other is set up with a non analytical initial condition, have been simulated by the proposed method.

研究の動機と目的

• KdV-Burgers方程式の初期境界値問題を高精度に解く数値的手法を開発すること。
• 古典的3次Bスプラインにおける3階微分の非存在という課題に対処するため、方程式を連立系に変換すること。
• 空間離散化に拡張された3次Bスプラインを用いた配置法と、時間積分にCrank-Nicolson法を実装すること。
• 解析的および非解析的初期条件を有する問題に対して手法を検証し、精度および保存性の性質を示すこと。
• 拡張パラメータλが解の精度および安定性に与える影響を調査すること。

提案手法

• KdV-Burgers方程式は、変数変換により3階微分項を除去することで変換され、連立方程式系が得られる。
• 空間配置に拡張された3次Bスプラインを基底関数として用い、3階微分が存在しないにもかかわらず高次近似が可能となる。
• 時間離散化にCrank-Nicolson法を適用し、2次精度と無条件安定性を確保する。
• 非線形項は予測子補正法を用いて線形化し、各時間ステップにおける系の反復的解法を可能にする。
• 境界条件は、各時間レベルにおける配置方程式に与えられた値を直接代入することで直接的に適用する。
• 得られた代数方程式系は各時間ステップで反復的に解かれ、時間に伴う解の進展が図られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3階微分が存在しないにもかかわらず、拡張された3次BスプラインがKdV-Burgers方程式の解を効果的に近似できるか。
• RQ2 解析的および非解析的初期条件の両方において、提案された配置法の精度および安定性はいかがなものか。
• RQ3 拡張パラメータλが数値解の精度に与える影響は何か。
• RQ4 質量、運動量、エネルギーなどの保存量をどの程度正しく保存できるか。
• RQ5 波の形成および伝播に関して、既存手法（CDQおよびPDQ）と比較して、本手法の精度はどの程度か。

主な発見

• 同じ問題設定下で、既存のCDQおよびPDQ手法と比較して、最大ノルム誤差が少なくとも2桁改善された。
• 解析的ケースでは、数値解が正確な解とよく一致し、ノード数が増加するにつれて最大誤差が減少した。
• t = 800において、先頭波はx = 121.2に達し、高さ1.930に達し、3番目の波はx = 97.60に達し、高さ1.703に達し、安定した波動伝播が確認された。
• 最低4つの保存量が計算され、時間経過に伴いほぼ一定に保たれたことから、スキームの良好な保存性が示された。
• 拡張パラメータλは精度に顕著な影響を及ぼし、最適な値が収束性を向上させ、誤差を低減した。
• 本手法は、t = 600までに最大9個の顕著な波の形成と分裂を成功裏にシミュレートでき、先行研究と整合的であった。