[論文レビュー] Extended Backward Stochastic Volterra Integral Equations, Quasilinear Parabolic Equations, and Feynman-Kac Formula

Hanxiao Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡張された後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（EBSVIEs）を用いて、非局所的擬線形放物型PDEの解に対する確率的表現を確立する。Malliavin微積分を用いてEBSVIE解の適切性と正則性を証明し、Pardoux-Pengの結果を退化および時不一致の設定にまで拡張する一般化された非線形Feynman-Kac公式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we establish the relationship between backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs, for short) and a kind of non-local quasilinear (and possibly degenerate) parabolic equations. We first introduce the extended backward stochastic Volterra integral equations (EBSVIEs, for short). Under some mild conditions, we establish the well-posedness of EBSVIEs and obtain some regularity results of the adapted solution to the EBSVIEs via Malliavin calculus. We show that a given function expressed in terms of the solution to the EBSVIEs solves a certain system of non-local parabolic partial differential equations (PDEs, for short), which generalizes the famous nonlinear Feynman-Kac formula in Pardoux{Peng [21].

研究の動機と目的

• 拡張された後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（EBSVIEs）と非局所的擬線形放物型PDEとの間の関係を確立すること。
• Malliavin微積分を用いて、弱い条件下でもEBSVIEの適応解の適切性と正則性を証明すること。
• Pardoux-Pengの非線形Feynman-Kac公式を、時不一致およびおそらく退化する拡散係数を含むように一般化すること。
• EBSVIEを用いて、非局所的PDEのクラスの古典的解に対する確率的表現を提供すること。
• 非マルコフ的・非局所的PDEを確率的方程式を用いて解くために、古典的な4段階法をボルテラ設定に拡張すること。

提案手法

• EBSVIEsを、BSDEsとBSVIEsの一般化として導入し、生成子が時間sとrにおける解に依存することを定義する。
• 適応解を、伊藤の意味で積分方程式を満たす逐次可測な確率的場 (Y(t,s), Z(t,s)) として定義する。
• Malliavin微積分を用いて、解の正則性特性を導出し、時間および空間におけるホルダー連続性を示す。
• 区間を分割する時間離散化スキームを用いて解を近似し、優越収束定理を適用する。
• コルモゴロフ連続性定理を用いて、解およびその微分のサンプルパスの正則性を確立する。
• 極限過程を用いて関数Θ(t,s,x) = Y(t,s)が満たすPDEを導出し、非マルコフ構造を有する非局所的擬線形PDEを解くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後向きストキャスティックボルテラ積分方程式によって駆動される非局所的擬線形放物型PDEに対して、一般化されたFeynman-Kac公式を確立できるか？
• RQ2 EBSVIEの適応解が、どのような条件下で適切かつ十分に正則となるか？
• RQ3 EBSVIEの解が、退化する拡散係数を有する非局所的PDEの古典的解をどのように表現するか？
• RQ4 Malliavin微積分は、EBSVIEの解の正則性を確立するために果たす役割は何か？
• RQ5 EBSVIEフレームワークは、前向き・後向きSDEの古典的4段階法を、非マルコフ的・非局所的PDEにどのように拡張するか？

主な発見

• EBSVIE (1.1) は弱い条件下でも適切であり、指定されたクラス内に適応解 (Y, Z) が存在し、一意に定まる。
• 解Y(t,s) は、任意のε > 0に対して、指数1/2 - 1/p - εのホルダー連続性を時間および空間で示す。
• 関数Θ(t,s,x) = Y(t,s) は、生成子gと拡散係数σを含む非局所的擬線形放物型PDE (5.1) を満たす。
• EBSVIEの解は、PDEの古典的解に対する確率的表現を提供し、非線形Feynman-Kac公式を一般化する。
• σが退化しており、xに関して線形成長を示しても、結果は成り立つ。これは、従来の均一な強楕円性を要件としていた結果を拡張する。
• 古典的解Θ(t,s,x) は、C^{0,1,2}(Δ[0,T]×ℝ^d;ℝ^m) に属することを確認し、その滑らかさとPDEに対する妥当性を裏付ける。