[論文レビュー] Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability, and superweights for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities

Michael Ruzhansky, Durvudkhan Suragan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、全勾配を径方向微分に置き換えることで、古典的な Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を拡張し、同型群上の $L^p$-重み付きハーディー不等式における鋭利な定数と剰余項推定を確立している。$\frac{(a+b|x|^eta)^{eta/p}}{|x|^m}$ の形をした新規なスーパー重みを導入し、臨界対数型ハーディー不等式を導出し、同型リー群の設定において、繰り返し部分積分とホルダーの不等式を用いて鋭い定数を伴う高階不等式を証明している。

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the classical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: we show that for $1<p,q<\\infty$, $0<r<\\infty$ with $p+q\\geq r$, $\\delta\\in[0,1]\\cap\\left[\\frac{r-q}{r},\\frac{p}{r}\ ight]$ with $\\frac{\\delta r}{p}+\\frac{(1-\\delta)r}{q}=1$ and $a$, $b$, $c\\in\\mathbb{R}$ with $c=\\delta(a-1)+b(1-\\delta)$, and for all functions $f\\in C_{0}^{\\infty}(\\mathbb{R}^{n}\\backslash\\{0\\})$ we have $$ \\||x|^{c}f\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq \\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})} $$ for $n\ eq p(1-a)$, where the constant $\\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta}$ is sharp for $p=q$ with $a-b=1$ or $p\ eq q$ with $p(1-a)+bq\ eq0$. In the critical case $n=p(1-a)$ we have $$ \\left\\||x|^{c}f\ ight\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq p^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\\log|x|\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})}. $$ Moreover, we also obtain anisotropic versions of these inequalities which can be conveniently formulated in the language of Folland and Stein's homogeneous groups. Consequently, we obtain remainder estimates for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities on homogeneous groups, which are also new in the Euclidean setting of $\\mathbb{R}^{n}$. The critical Hardy inequalities of logarithmic type and uncertainty type principles on homogeneous groups are obtained. Moreover, we investigate another improved version of $L^{p}$-weighted Hardy inequalities involving a distance and stability estimates. We also establish sharp Hardy type inequalities in $L^{p}$, $1<p<\\infty$, with superweights, i.e. with the weights of the form $\\frac{(a+b|x|^{\\alpha})^{\\frac{\\beta}{p}}}{|x|^{m}}$ allowing for different choices of $\\alpha$ and $\\beta$.

研究の動機と目的

• 全勾配を径方向微分に置き換えることで、古典的な Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を拡張し、鋭さと適用可能性を向上させること。
• 同型群の文脈において、$L^p$-重み付きハーディー不等式の剰余項推定と安定性バインディングを導出すること。
• 同型群上での臨界対数型ハーディー不等式と不確実性原理を確立すること。
• 任意の同型 quasi-ノルムと柔軟なパラメータ $\alpha$, $\beta$, $m$, $a$, $b$ を用いて定義される $L^p$-ハーディー不等式のスーパー重みを導入・分析し、より広範な適用可能性を実現すること。
• 臨界および亜臨界ハーディー不等式の関係を調査し、繰り返し法を用いて高階バージョンを証明すること。

提案手法

• 全勾配 $|\nabla f|$ の代わりに径方向微分 $\mathcal{R}f = \frac{x}{|x|} \cdot \nabla f$ を用いて、非等方的 $L^p$-重み付きハーディー不等式を導出し、鋭さと安定性を向上させること。
• 同型リー群 $\mathbb{G}$ とその同型次元 $Q$ の設定において、極座標における径方向積分を用いて、部分積分とホルダーの不等式を適用すること。
• パラメータ $a,b>0$, $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ および $|x|$ を同型 quasi-ノルムとする、スーパー重み $\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$ を導入し、古典的ハーディー重みを一般化すること。
• 主不等式を繰り返し適用して、$\mathcal{R}^k f$ を含む高階ハーディー型不等式を導出し、$Q$, $p$, $m$, $\alpha$, $\beta$ に依存する鋭い定数を得ること。
• 同型関数 $f(x) = |x|^C$, $C \neq 0$ を用いてホルダーの不等式における等号条件を検証することで、定数の鋭さを確立すること。
• コンパクト性の喪失を補うために、$|\nabla f|$ を $|\nabla f| \log |x|$ に置き換えることで、$n = p(1-a)$ の臨界ケースにおける臨界ハーディー不等式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全勾配の代わりに径方向微分を用いることで、Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式を拡張できるか。この設定における鋭い定数は何か。
• RQ2 同型群上での $L^p$-重み付きハーディー不等式の剰余項推定と安定性バインディングは何か。
• RQ3 $n = p(1-a)$ の極限ケースにおいて、対数重み付きの臨界ハーディー不等式はどのように導出できるか。
• RQ4 パラメータ $\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$ を用いた $L^p$-ハーディー不等式が鋭くかつ有効であるための条件は何か。
• RQ5 径方向微分を用いた高階ハーディー不等式は、1階の場合とどのように関係し、その鋭い定数は何か。

主な発見

• $n \neq p(1-a)$ の場合、与えられたパrameter 制約のもとで、不等式 $\||x|^c f\|_{L^r} \leq \left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta \||x|^a \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$ が鋭い定数 $\left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta$ を伴って成り立つ。
• 臨界ケース $n = p(1-a)$ では、不等式は $\||x|^c f\|_{L^r} \leq p^\delta \||x|^a \log|x| \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$ に変わり、対数補正項が加わる。
• スーパー重み不等式における定数 $\frac{Q - pm - p + \alpha\beta}{p}$ は鋭く、同型関数 $f(x) = |x|^C$ におけるホルダーの不等式の等号条件が成立するとき達成される。
• 同型群 $\mathbb{G}$ に対して、$\alpha\beta > 0$ および $pm \leq Q - p$ の下で、高階不等式 $\left[\prod_{j=0}^{k-1} \left(\frac{Q-p}{p} - (m+j)\right)\right] \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^{m+k}} f \right\|_{L^p} \leq \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m} \mathcal{R}^k f \right\|_{L^p}$ が成り立つ。
• $\alpha\beta < 0$ および $pm - \alpha\beta \leq Q - p$ の場合、双対的高階不等式が成り立ち、定数が $\frac{Q - p + \alpha\beta}{p} - (m+j)$ に修正される。これにより、パrameter 範囲全体にわたる手法の頑健性が証明される。